Hovedindhold

Emne: (Geometri (Bibliotek) > Emne 8

Modul 4: Rumfang af kegler, cylindre og kugler

Gennemgang af rumfangsformler

Gennemgå rumfangsformlerne for prismer, cylindre, pyramider, kegler og kugler.

Til at starte med kan det virke som om, at der er mange forskellige rumfangsformler, men en del af dem har faktisk noget til fælles.

Prisme-lignende rumlige figurer

{Rumfang}_{prisme} = (grundfladeareal) \cdot (højde)

Vi måler altid højden vinkelret fra grundfladen, også selvom figuren "ligger ned", eller det er et "skævt" prisme.

Kasser

Vi lærer ofte om kasser (også kaldet rette prismer) ved at bygge dem med centicubes.

Bemærk, at enhver af de seks flader i en kasse kan bruges som grundflade, så længe vi stadig måler højden vinkelret fra grundfladen.

\begin{aligned} {Rumfang}_{kasse} & = ({Areal}_{grundflade}) \cdot (højde) \\ = ((grundfladens længde) (grundfladens bredde)) \cdot (kassens højde) \\ = l b h \end{aligned}

Trekantede prismer

Et trekantet prisme har en trekant som grundflade.

\begin{aligned} {Rumfang}_{trekantet prisme} & = ({Areal}_{grundflade}) \cdot (højde) \\ = (\frac{1}{2} (trekantens grundlinje) (trekantens højde)) \cdot (prismets højde) \\ = \frac{1}{2} g h ℓ \end{aligned}

Cylindre

En cylinder er en prisme-lignende figur, men dens grundflade er en cirkel.

\begin{aligned} {Rumfang}_{cylinder} & = ({Areal}_{grundflade}) \cdot (højde) \\ = (π \cdot (radius)^{2}) \cdot (højde) \\ = π r^{2} h \end{aligned}

Skæve prismer

I skæve prismer er modståender flader stadig parallelle.

Formlen for rumfanget af skæve prismer er præcis den samme som formlen for rette prismer på grund af Cavalieris princip.

Hvilket udtryk beregner rumfanget af det skæve prisme?

Pyramider og pyramide-lignende rumlige figurer

{Rumfang}_{pyramide} = \frac{1}{3} (grundfladeareal) \cdot (højde)

Højden af en pyramide måles vinkelret fra grundfladen. På grund af Cavalieris princip udregnes rumfladen af skæve pyramider på samme måde som rette pyramider.

Pyramider med rektangulære grundflader

Pyramider med rektangulære grundflader har et rektangel som grundflade.

\begin{aligned} {Rumfang}_{pyramide med rektangulær grundflade} & = \frac{1}{3} ({Areal}_{grundflade}) \cdot (højde) \\ = \frac{1}{3} ((grundfladens længde) (grundfladens bredde)) \cdot (pyramidens højde) \\ = \frac{1}{3} l b h \end{aligned}

Kegler

En kegle er en pyramide-lignende figur, hvor grundfladen er en cirkel.

\begin{aligned} {Rumfang}_{kegle} & = \frac{1}{3} ({Areal}_{grundflade}) \cdot (højde) \\ = \frac{1}{3} (π \cdot (radius)^{2}) \cdot (højde) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h \end{aligned}

Kugler

{Rumfang}_{kugle} = \frac{4}{3} π (radius)^{3}

Hvor er vi glade for, at du spørger! Antag, at vi har en kugle med radius

r

. Lad os lave to tværsnit i kuglen, som er vinkelrette på den lodrette diameter i kuglen. Det ene går gennem kuglens centrum. Det andet ligger

y

enheder over det første.

Ved at bruge Pythagoras' læresætning, kan vi beregne radius

x

af det tværsnit, som ligger i en afstand på

y

enheder fra kuglens centrum:

x = \sqrt{r^{2} - y^{2}}

Så arealet af det cirkulære tværsnit er:

\begin{aligned} {Areal}_{cirkulær tværsnit} & = π \cdot x^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

Der findes en anden figur, som har præcis det samme tværsnitsareal i alle højder: en cylinder med en radius på

r

og en højde på

2 r

, og hvor to kegler er blevet fjernet inde fra cylinderen (en fra oven og en fra bunden). Hver af de to kegler har en radius på

r

og en højde på

r

Radius i cylinderen i enhver højde er

r

. Ligedannede kegler med radius

y

enheder kan laves i enhver afstand

y

fra spidsen af keglerne.

Tværsnitsarealet af den sammensatte figur kan derfor udtrykkes:

\begin{aligned} {Areal}_{ringens tværsnit} & = π \cdot r^{2} - π \cdot y^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

Da ethvert tværsnit i både kuglen og den sammensatte figur, som ligger i en afstand af

y

enheder fra centrum, har samme areal, har figurerne ifølge Cavalieris princip samme rumfang.

\begin{aligned} {Rumfang}_{sammensat figur} \\ = {Rumfang}_{cylinder} - 2 \cdot {Rumfang}_{kegle} \\ = [π \cdot (radius)^{2} \cdot (højde cylinder)] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot (radius)^{2} \cdot (højde kegl)] \\ = [π \cdot r^{2} \cdot 2 r] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot r] \\ = 2 π r^{3} - \frac{2}{3} π r^{3} \\ = \frac{4}{3} π r^{3} \end{aligned}

Rumfanget af den sammensatte figur er

\frac{4}{3} π r^{3}

, så ud fra Cavalieris princip er rumfanget af kuglen også

\frac{4}{3} π r^{3}

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.