If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Geometri (Bibliotek) > Emne 10

Modul 4: Spejlinger
Matematik
Geometri (Bibliotek)
Transformationer
Spejlinger
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Spejling af figurer

Google Classroom
Lær at finde billedet af en figur efter en spejling.
I denne artikel skal vi kigge på billeder af forskellige figurer, som er blevet spejlet.

Spejlingsaksen

En spejling er en type transformation, der spejler alle punkter på en figur i en spejlingsakse, så de lander over på den anden side af spejlingsaksen.
Vi kan angive en spejlingsakse enten som en linjes ligning eller ved hjælp af to punkter, som den går igennem.

Del 1: Spejling af punkter

Lad os kigge på et eksempel, hvor vi spejler i en vandret linje

Vi skal finde billedet A′ af A(−6,7) efter en spejling i linjen y=4.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En vandret stiplet linje går gennem 4 på y aksen. Et punkt mærket A ligger i minus 6 komma 7.

Løsning

Trin 1: Tegn et vinkelret linjestykke fra A til spejlingsaksen og mål længden af den.
Da spejlingsaksen er vandret, vil et vinkelret linjestykke til den være lodret.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En vandret stiplet linje går gennem 4 på y aksen. Et punkt mærket A ligger i minus 6 komma 7. En lodret prikket linje mærket 3 enheder går fra A ned til den stiplede linje.
Trin 2: Forlæng linjestykket i samme retning og med samme længde på den anden side af spejlingsaksen.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En vandret stiplet linje går gennem 4 på y aksen. Et punkt mærket A ligger i minus 6 komma 7. En lodret prikket pil mærket 3 enheder går fra A ned til den stiplede linje. Endnu en lodret prikket pil mærket 3 enheder fortsætter 3 enheder ned fra den stiplede linje.
Svaret er: A′ ligger i (−6,1).
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En vandret stiplet linje går gennem 4 på y aksen. Et punkt mærket A ligger i minus 6 komma 7. En lodret pil går 3 enheder plus 3 enheder altså i alt 6 enheder ned til et punkt mærket A mærke der ligger i minus 6 komma 1.

Nu er det din tur!

Øvelsesopgave

Tegn billedet af B(7,−4) efter en spejling i linjen x=2.

Udfordrende opgave

Hvor ligger billedet til (−25,−33) efter en spejling i linjen y=0?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
,
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
)

Lad os kigge på et eksempel, hvor vi spejler i en diagonal linje

Vi skal finde billedet C′ af C(−2,9) efter en spejling i linjen y=1−x.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En stiplet linje med ligningen y er lig med 1 minus x er afbildet. Et punkt mærket C ligger i minus 2 komma 9.

Løsning

Trin 1: Tegn en vinkelret linje fra C til spejlingsaksen og mål længden af den.
Da spejlingsaksen går igennem diagonalerne i de små kvadrater i koordinatsystemet, vil et vinkelret linjestykke til spejlingsaksen også gå igennem diagonalerne, bare i den anden retning. Med andre ord, linjer med en hældning på 1 og -1 står altid vinkelret på hinanden.
Lad os dog måler længden af diagonalerne i "diagonaler":
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En stiplet linje med ligningen y er lig med 1 minus x er afbildet. Et punkt mærket C ligger i minus 2 komma 9. En prikket pil mærket 3 diagonaler der er vinkelret på den stiplede linje går fra C ned til den stiplede linje.
Trin 2: Forlæng linjestykket i samme retning og med samme længde på den anden side af spejlingsaksen.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En stiplet linje med ligningen y er lig med 1 minus x er afbildet. Et punkt mærket C ligger i minus 2 komma 9. En prikket pil mærket 3 diagonaler der er vinkelret på den stiplede linje går fra C ned til den stiplede linje. Endnu en prikket pil mærket 3 diagonaler fortsætter fra den stiplede linje.
Svaret er: C′ ligger i (−8,3).
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En stiplet linje med ligningen y er lig med 1 minus x er afbildet. Et punkt mærket C ligger i minus 2 komma 9. En prikket pil der er vinkelret på den stiplede linje går 3 diagonaler plus 3 diagonaler altså i alt 6 diagonaler fra C til et punkt mærket C mærke der ligger i minus 8 komma 3.

Nu er det din tur!

Øvelsesopgave

Tegn billedet af D(3,−5) efter en spejling i linjen y=x+2.

Udfordrende opgave

Hvor ligger billedet til (−12,12) efter en spejling i linjen y=x?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
,
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
)

Del 2: Spejling af polygoner

Lad os kigge på et eksempel

Betragt rektangel EFGH, som er tegnet nedenfor. Lad os tegne dets billede E′F′G′H′ efter en spejling i linjen y=x−5.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En stiplet linje med ligningen y er lig med x minus 5 er afbildet. Rektagnel E F G H er afbildet. Punkt E ligger i minus 3 komma 3. F ligger i 5 komma 3. G ligger i 5 komma minus 3. H ligger i minus 3 komma 3.

Løsning

Når vi spejler en polygon, behøver vi kun at spejle alle vinkelspidserne og bagefter forbinde dem (præcis samme måde, som når vi parallelforskyder eller drejer).
Her kan vi se de oprindelige vinkelspidser og deres billeder. Bemærk, at E, F og H ligger på den modsatte side af spejlingsaksen end G. Det samme kommer til at gælde for deres billeder, bare omvendt!
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En stiplet linje med ligningen y er lig med x minus 5 er afbildet. 4 punkter er afbildet. Punkt E ligger i minus 3 komma 3. F ligger i 5 komma 3. G ligger i 5 komma minus 3. H ligger i minus 3 komma 3. 4 pile går fra hvert punkt vinkelret på linjen og til henholdsvis punkt E mærke i 8 komma minus 8. Til punkt F mærke i 8 komma 0. Til punkt G mærke i 2 komma 0 og til punkt H mærkde i 2 komma minus 8.
Nu mangler vi bare at forbinde vinkelspidserne.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. En stiplet linje med ligningen y er lig med x minus 5 er afbildet. Rektangel E F G H er afbildet. Punkt E ligger i minus 3 komma 3. F ligger i 5 komma 3. G ligger i 5 komma minus 3. H ligger i minus 3 komma 3. 4 pile går fra hvert punkt vinkelret på linjen og til henholdsvis punkt E mærke i 8 komma minus 8. Til punkt F mærke i 8 komma 0. Til punkt G mærke i 2 komma 0 og til punkt H mærke i 2 komma minus 8. Punkterne E mærke F mærke G mærke og H mærke er forbundet og danner et billede af rektanglet efter en spejling.

Nu er det din tur!

Opgave 1

Tegn billederne af linjestykkerne IJ― og KL― efter en spejling i linjen y=−3.

Opgave 2

Tegn billedet af △MNO efter en spejling i linjen y=−1−x.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.