Sandsynlighed ved hjælp af kombinationer

... Så det kan måske undre at vi beskæftiger os med permutationer og kombinationer i sektionen for sandsynlighed, men det vil fremgå af denne video. Ok, lad os sige at vi ønsker at bestemme sandsynligheden ... når vi kaster en mønt 8 gange og det er en ærlig mønt. Og vi ønsker at bestemme sandsynligheden for(hændelsen) at opnå netop 3 kroner i 8 kast. Det vil sige at 3 af vores kast giver krone og de resterende giver plat. Så hvordan griber vi det an ? Ok, lad os gå tilbage til en af de tidligere definitioner vi anvendte for sandsynlighed. Og den siger, at sandsynligheden for at noget sker er antallet af lige sandsynlige udfald(ved jævn sandsynlighed) der tilfredsstiller vores betingelse(gunstige udfald) så det er antallet af udfald for hvilke vi netop får 3 kroner ud af 8 kast , og ved netop 3 kroner, siger vi ikke mere eller mindre end 3 kroner (ud af 8 kast) Så 4 kroner vil ikke tælle med, og 2 kroner vil ikke tælle med, og 5 kroner vil heller ikke ... kun netop 3 kroner (ud af 8 kast) over det totale antal af lige sandsynlige udfald ... det totale antal af lige sandsynlige mulige udfald Vi skal bruge bruge ordet 'udfald' Så ligesom vi benyttede ordet udfald i nævneren, skal det være det totale antal af udfald for hvilke vores betingelse er tilfredsstillet (gunstige udfald) at vi netop får 3 kroner (ud af 8 kast) over det totale antal mulige udfald Så lad os tage nederste del(nævneren) først. ... Hvad er det totale antal mulige udfald, hvis jeg kaster en ærlig mønt 8 gange ? Den første gang vi kaster mønten får vi enten krone eller plat, så vi får 2 udfald. Og når jeg kaster mønten igen får jeg 2 nye udfald for det næste kast. Så hvor mange udfald har vi så totalt ? Ok, det er 2 gange 2 fordi jeg kunne have fået 2 i det 1. kast og 2 i det 2. kast. Det vi faktisk gør er at gange med 2 det antal gange vi kaster mønten Så det er ... 5,6,7,8 and det svarer til 2 i 8. (eller 2 opløftet i 8 potens) Så antallet af udfald er lig 2 opløftet i det totale antal kast's potens. Og vi håber det giver mening for jer. Hvis ikke, så anbefaler vi at gense nogle af de tidligere videoer. Men det er den lette del. Så der er 2 i 8. mulige udfald, når vi kaster en ærlig mønt 8 gange. Så hvor mange af disse udfald resulterer i netop 3 kroner ? Lad os gribe det an på denne måde. Lad os navngive hvert af vores kast. ... Så lad os lave en lille kolonne, vi kalder "kast" Dette er min kaste kolonne Og vi kan kalde kastene hvad som helst. Vi kunne navngive dem Lars, Tom, Jørgen og så fremdeles Vi kunne kalde dem hvad som helst .... Men vi nummerer kastene Kast 1,2,3,4,5,6,7,8 .. Og vi skal faktisk bare plukke 3 af disse kast ud som resulterer i krone. En anden måde at tænke på det, er at det kunne være 8 personer og jeg skulle vælge hvilke af disse ... på hvor mange måder vi kan vælge 3 af disse personer til en bil Hvor mange måder kan vi vælge 3 af disse personer til at sidde på stole Og vi tilægger ikke rækkefølgen betydning. Det spiller ingen rolle hvis vi siger at personer skal gå ind i bilen er person 1, 2 og 3 Eller hvis jeg siger 3, 2 og 1 eller 2,3 og 1. Disse er alle den samme kombination Så på tilsvarende vis, jeg vælger bare de kast, og vi siger at 3 af disse kast skal ind i "krone" bilen Krone kan svare til personer der sidder ned Der er ingen grund til yderligere forvirring Men helt basalt, vi vælger bare 3 ting ud af 8 Så helt basalt siger vi, hvor mange kombinationer kan vi få hvis vi vælger 3 ud af 8 Og her bør en klokke ringe, da vi basalt set siger, at ud af 8 ting skal vi vælge 3 ... Hvor mange kombinationer af 3 kan vælge af 8 og vi gennemgik dette i sidste video Så lad os skriver formlen ned først Lad mig skrive formlen her, så vi husker den men vi ønsker at genopfriske jeres intuition. for formlen Så helt generalt siger vi binomialkoefficienten n over k som er lig n fakultet over k fakultet gange (n minus k) fakultet Så i denne situation ville det være lige 8 fakultet over 3 fakultet gange hvad ? (8 minus k) gange 5 fakultet En anden at skrive det på ville være 8 gange 7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1 over --- lad mig skrive 3 fakultet ... for et øjeblik Så 5 gange 5 gange 3 gange 2 gange 1 Og selvfølgelig disse går ud mod hinanden og vi står tilbage med 8 gange 7 gange 6 over 3 fakultet Og vi gjorde det sådant fordi vi gerne vil have at i får intuitionen for den sidste del af formlen Det er basalt set bare at sige hvor mange permutationer kan vi får når vi laver et udpluk af 3 på en mængde af 8? Og det er basalt set det, ok før jeg laveret udpluk Jeg kunne vælge 1 ud af 8 Så har jeg 7 tilbage at vælge fra for den anden plads Og så har jeg 6 tilbage at vælge for den 3.plads Og det basalt set antallet af permutationer. Men siden vi ikke tillægger rækkefølgen betydning dividerer vi med antaller af måde rvi kan arrangere 3 ting Og det er her 3 fakultet spiller ind. Så forhåbentlig forvirrede dette ikke jer, men hvis det gjorde så gå tilbage til formlen for den binomiale koefficient Men det er godt at have intuition. Og nu da vi har nået hertil kan vi bare beregne dette. Ok, så hvad er det ? Det er 8 gange 7 gange 6 over 3 fakultet som er 3 gange 2 gange 1 Så det er 6 6'erne går ud mod hinanden så det er 8 gange 7 Så det er 8 gange 7, og hvad er det ? 56 .. Det er lige med 56 Så der er 56 forskellige måde at lave et udpluk af 3 fra en mængde på 8 Eller man kan sige hvis jeg har 8 personer her, så er der 56 måder jeg kan vælge 3 personer til at sidde i bilen eller hvad jeg nu ønsker at bruge som sammenligning. Men jeg har 8 kast her, og der er 56 måder at vælge netop 3 af disse kast til at være krone. Så lad os vende tilbage til vores oprindelige sandsynlighedsproblem. Hvad er sandsynligheden får at få netop 3 krone i 8 kast, Ok, det er antallet af måder jeg kan vælge 3 ud af 8 Så det er lig med 56 over antallet af mulige udfald det totale antal udfald er lige 2 opløftet i 8. potens En anden måde at skrive det .. 56. lad mig adskille Det er 8 gange 7 over 2 opløftet i 8. 8 er 2 opløftet i tredje Lad os lige gøre fjerne noget ... .. ... ... Og jeg skifter til en anden farve for variationens skyld Lad os bruge den tynde pen. Ok. så er vi tilbage Ok, så 8 er det samme som 2 opløftet i 3. 7 ... dette er bare matematisk "simplifikation" ??? men det er brugbart .... over 2 opløftet i 8. Og så, hvis vi dividerer på begge sider, tælleren og nævneren med 2 opløftet i tredje .. det bliver 1 Dette bliver 2 opløfte i 5. Så det bliver 7 over 32 Er det korrekt ? Hvis vi vælger 3 ud af 8 ... Ja, det ser rigtigt ud. Ok så hvad bliver det så ? Lad os bruge lommeregneren.. .. .. Lad os se Lommeregneren synes at være forsvundet. Lad os lige få den tilbage. Der har vi den Ok 7 divideret med 32 er lig med 0.21875 Som er lige med 21. -- hvis vi runder op ca 21.9% chance Så det er en smule bedre en 1 ud af 5 for at få netop 3 korne ud af 8 kast Forhåbentlig har vi ikke forvirret jer unødigt, og nu kan i anvende dette til en hel del Vi kan sige, hvad er sandsynligheden for at .. når jeg kaster en ærlig mønt .... at få netop 7 krone ud af 8 kast Eller vi kunne sige, hvad er sandsynligheden for at få netop 2 krone ud af 100 kast Og vi kunne bruge den nøjagtig samme fremgangsmåde med dette problem Som vil fremgå af den næste video