Bestemme grænseværdi: strategi

I mange videoer og øvelser snakker vi om forskellige teknikker til at bestemme grænseværdier. Men nogle gange er det nyttigt at se på strategier for at afgøre, hvilken teknik der skal bruges. Det er det vi skal gøre i denne video. Her ser du et flowdiagram, som vi har lavet her på Khan Academy og jeg vil nu gennemgå det flowdiagram. Det ser først lidt kompliceret, men forhåbentlig vil det give mening, når vi gennemgår det. Formålet er at bestemme grænseværdien for f(x), når x nærmer sig a. Det fortæller os, hvad det første vi skal gøre er. Det første er at prøve substitution med x er lig a. Lad os udregne f(a). Diagrammet siger, hvis f(a) er et reelt tal, så er vi færdige. Men der er et lille forbehold. Formentlig. Det er fordi, grænseværdi er noget andet end funktionsværdi. Nogle gange er de det samme. Faktisk er det definitionen for en kontinuert funktion, som vi har snakket om i tidligere videoer, men nogle gange er de ikke det samme. Dette er ikke nødvendigvis sandt, hvis du har en funktion, der har et diskontinuitetspunkt eller en spring diskontinuitet eller en funktion, der ser således ud. Så er dette ikke nødvendigvis tilfældet. Hvis ved det punkt, du forsøger at finde grænseværdien, når du nærmer dig punktet, at funktionen kontinuert, den opfører sig så at sige normalt, så er det en god ting at huske på. Kan jeg blot udregne funktionen for a? Hvis du har at gøre med en lige ud af landevejen funktion, som x² eller hvis du har et rationalt udtryk som dette eller et trigonometrisk udtryk og hvis du kan udregne funktionsværdien og du får et reelt tal, så er du nok færdig. Hvis du har at gøre med en funktion, der har alle mulige betingelser, hvis den er defineret stykkevis, som vi har set i tidligere videoer, så vil jeg være en smule mere skeptisk. Eller hvis du fra visualisering ved, at der er et spring nær punktet eller en anden type diskontinuitet, så skal du nok være lidt mere forsigtig. Men generelt så er dette en god tommelfingerregel. Når du har at gøre med en lige ud af landevejen funktion, der er kontinuert og du udregner for x er lig a, og du får et reelt tal, så er det formentlig grænseværdien. Lad os se på de andre situationer. Hvad sker der hvis du udregner funktionen og du får et et tal divideret med 0? I så fald har du formentlig at gøre med en lodret asymptote. Hvad mener vi med lodret asymptote? Lad os se på dette eksempel. Hvis vi snakker om grænseværdien --jeg bruger en mørkere farve -- grænseværdien, når x nærmer sig 1, for 1 / x - 1. Hvis du prøver at udregne dette udtryk for x er lig 1, så får du 1 / 1 - 1, som er lig 1/0. Det betyder vi er røget over i den lodrette asymptote gruppe. Hvis du her vil forstå, hvad er sker eller bekræfte at der er en lodret asymptote, så kan du prøve nogle tal og du kan prøve at tegne den. Du siger, "jeg har formentlig en lodret asymptote her ved x er lig 1." Dette er min lodrette asymptote. Du kan prøve nogle værdier. Når x er større end 1, så vil nævneren være positiv og min graf, som du kan lave ved at bruge flere punkter, vil se nogenlunde således ud. For værdier mindre end 1, så får du negative værdier og grafen ser således ud. Du har denne lodrette asymptote. Det er formentlig det du har. Der er tilfælde - meget særlige tilfælde, hvor du ikke nødvendigvis har en lodret asymptote. Et eksempel på det vil være 1 / x - x. Den her vil faktisk være udefineret for ethvert x, så du vil ikke have en lodret asymptote. Men det er et meget særligt tilfælde. De fleste gange vil du have en lodret asymptote. Men hvis vi nu ikke ender i en af disse grupper? Hvis vi udregner funktionen og får 0/0? Her er et eksempel på det. Grænseværdien, når x nærmer sig -1, for dette rationale udtryk. Lad os udregne det. Du får (-1)², som er 1. - (-1), som er + 1 og -2. Du får 0 i tælleren og i nævneren har du (-1)², som er 1. -2 ⋅ (-1) som er +2 og - 3, som er lig 0. Dette kaldes den udefineret form. Og i vores flowdiagram fortsætter vi til højre og der er nogle metoder man kan bruge til at takle den udefineret form. Om nogle få uger vil du muligvis lære en anden metode, som involverer differentialregning kaldet L'Hopital's regel, som vi derfor ikke vil bruge her, hvorimod disse metoder ikke gør. Disse er algebraiske og trigonometriske metoder. Det første du kan gøre, især hvis du har et rationalt udtryk som dette, og du har fået den udefineret form, er at forsøge at faktorisere det. Kan du reducere udtrykket? Dette udtryk kan faktoriseres. Det er det samme som (x - 2)(x + 1) over (x - 3) (x + 1). Hvis det jeg lige gjorde er helt fremmed for dig, så opfordrer jeg dig til at se nogle videoer om faktorisering af polynomier eller andengradspolynomier. Jeg kan reducere dette. Så længe x ikke er lig med -1, så går disse to ud med hinanden. Jeg kan sige, det er lig (x - 2)/(x - 3), når x ikke er lig -1. Folk glemmer denne del. Det sker, når du ikke er matematisk præcis. Hele dette udtryk er lig dette udtryk. Fordi hele dette udtryk er heller ikke defineret, når x er lig -1, selvom du kan indsætte x er lig -1 og får en værdi. Hvis du indsætter x er lig -1 her, selvom det formelt ikke er tilladt, for at gøre dem matematisk tilsvarende, så bliver det (-1 - 2), som er -3, over (-1 - 3), som er -4. Det er lig 3/4. Hvis denne betingelse ikke var der så kan du blot udregne det og dette er en ret lige ud af landevejen funktion. Jeg forventer ikke, at der sker noget fjollet her. Hvis jeg kan udregne den, når x er lig -1, så er det godt. Vi faktoriserede og reducerede og dernæst udregnede vi en værdi for det reduceret udtryk. Vi fik 3/4, så vi kan være ret sikre på, at grænseværdien er 3/4. Jeg vil mene, at det vi hidtil har set svarer til langt den største del af de opgaver om grænseværdier, som du vil blive givet. Med de næste to skal vi bruge en smule smartere metoder. Når du får den udefineret form, og hvis du har udtryk, der indeholder et rodtegn. Rationale udtryk med rodtegn. Så kan du gange med en særlig faktor og fjerne rodtegnet. I dette eksempel når du prøver at udregne det for x er lig 4, så får du √4 - 2 over 4 - 4, som er 0 / 0. Det er den udefineret form. Da vi ser dette rodtegn og et rationalt udtryk, så kan vi forsøge at fjerne rodtegnet og dernæst reducere. Jeg skriver det lige igen. √x - 2 over x - 4 Lad os gange med samme toleddet størrelse med modsat fortegn, altså √x + 2 over √x + 2. Det er det samme udtryk over det samme udtryk, så jeg ændrer ikke ved udtrykkets værdi. Det er lig med... Hvis jeg har (a + b)(a - b), så får jeg a² - b², tredje kvadratsætning. Det bliver (√x)² - 4 over... (√x)² - 4 er blot x - 4. Lad mig lige omskrive det. Det er x - 4 over (x - 4)(√x + 2) Dette er nyttigt, fordi nu kan jeg fjerne (x - 4). Og igen, hvis jeg vil have præcis det samme udtryk matematisk, så skal jeg skrive 1 / √x + 2 og x må ikke være lig 4. Nu kan vi se, hvad denne funktion nærmer sig, hvis vi bruger substitution med x er lig 4 i det reduceret udtryk. Det bliver 1 over... og vi indsætter x lig 4, så får vi 1 / √4 + 2, som er 1/4. Jeg tror, du kan være ret sikker på det er grænseværdien. Vi er tilbage i det grønne område. Hvis du tegner den oprindelige funktion, så vil du have et diskontinuitetspunkt. Du vil have et hul ved x er lig 4. Når du reducerer og ved at fjerne x - 4, så forsvinder hullet. Det er faktisk det du gør. Du forsøger at finde grænseværdien, når vi nærmer os det hul her. Den sidste handler om trig. regneregler. For at lave en af disse, skal du være ret trænet i disse regneregler. Hvis vi siger grænseværdien --jeg bruger en mørkere farve -- når x nærmer sig 0, for sin(x)/sin(2x). sin(0) er 0, så du får 0 og 0. Du har den udefineret form, så ryger vi over i denne gruppe. Du kan måske se, at dette er lig grænseværdien, når x nærmer sig 0, for sin(x)... Vi kan omskrive sin(2x) til 2sin(x)cos(x) og disse to går ud med hinanden for alle x der ikke er lig 0. Hvis du vil være matematisk præcis. Der vil være et hul her i den oprindelige graf, hvis du afbilder den. For at finde grænseværdien, så kan du sige, at denne grænseværdi er lig grænseværdien, når x nærmer sig 0 for 1 / 2cos(x) Nu kan vi gå tilbage til den grønne gruppe da vi kan udregne den for x er lig 0. Det bliver 1 / 2 cos(0). cos(0) er 1, så det bliver 1/2. Hvis ingen af disse metoder virker, og du vil lære et par metoder mere, når du har lært differentialregning, så ryger du ned i den nederste linje, Tilnærmelse. Du kan lave en numerisk tilnærmelse ved at prøve værdier meget meget meget tæt på det tal du forsøger at finde grænseværdien ved. Hvis du prøver at finde grænseværdien, når x nærmer sig 0, prøv 0,0000000000001 og prøv -0,00000001. Hvis du prøver at finde grænseværdien, når x nærmer sig 4, prøv 4,000000001 og Prøv 3,9999999999 og se, hvad der sker. Men det er nærmest de sidste krampetrækninger, den sidste kraftanstrengelse.