Multiplikation og division af rationale udtryk: et-leddede størrelser

Heroppe ganger vi to rationale udtryk. Og her dividerer vi et rationalt udtryk med et andet. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og se, hvad du får, når du ganger dem. Du kan måske reducere en smule. Du skal også overveje, hvilke begrænsninger du skal lave for x-værdierne, så det endelige udtryk er algebraisk tilsvarende med det oprindelige udtryk. Lad os lave dem samme, så du kan se, hvad jeg mener. I tælleren får vi 6x³ gange 2 og i nævneren får vi 5 gange 3x. Vi kan se, at både tæller og nævner kan divideres med x. Vi dividerer nævneren med x og får 1. Lad os dividere x³ med x. Vi får x². Vi kan også se, at både tæller og nævner kan divideres med 3. 6 divideret med 3 er 2. 3 divideret med 3 er 1. Tilbage har vi 2x² gange 2, som er lig 4x² over 5 gange 1 gange 1, så over 5. Vi kan også skrive det som 4/5 x². Hvis nogen på gaden gav dig udtrykket 4/5 x² og spurgte, for hvilke x er dette defineret? Jeg kan indsætte ethvert x her. x kan være 0, da 0² gange 4/5 blot er 0, så det er defineret for 0. Men hvis nogen spørger, hvilke begrænsninger jeg skal bruge, for at det er algebraisk tilsvarende med det første udtryk? Du kan se, at det første udtryk ikke er defineret for alle x. For eksempel hvis x er lig 0, så får du division med 0 lige her, som gør den udefineret. Du vil skrive, at x ikke kan være lig 0. Hvis du vil have dette til at være algebraisk tilsvarende, så må du skrive samme betingelse, at x ikke kan være lig 0. Hvis du har en funktion med denne forskrift, f(x) = 6x³ / 5 ⋅ 2 / 3x og nogle spørger, hvad er f(0)? Så vil du sige, at f(0) er udefineret. Hvorfor? Fordi, når du indsætter x er lig 0, så får du 2 divideret med 0, som er udefineret. Men kan du reducere det en smule og få præcis den samme funktion? Du kan sige f(x)= 4/5 x² Så får du nu, at f(0) er lig 0. Nu er den defineret for 0, og det er derfor en anden funktion. Dette er to forskellige funktioner, når de er skrevet således. For at gøre dem ækvivalente, så skal du skrive, at x ikke kan være lig 0. Nu er disse funktioner ækvivalente, fordi hvad er f(0)? x kan ikke være 0. Dette er de tilfælde, hvor x er alt andet end 0 og den er ikke defineret for 0, så du siger, f(0) er udefineret. Nu er disse to funktioner tilsvarende eller disse to udtryk er algebraisk ækvivalente. Lad os huske på det, når vi nu takler denne divisionsopgave. Umiddelbart siger du måske, hvilke betingelser er der? x kan ikke være 0, fordi når x er 0, så vil dette 5x⁴/4 være lig 0 og du dividerer med 0. Vi kan derfor skrive, at x ikke må være lig 0. Hvis x ikke kan være 0 i det oprindelige udtryk, uanset hvad det resulterende udtryk bliver for, at det er algebraisk tilsvarende, så skal vi have samme betingelse. Lad os dividere dem. Dette bliver det samme som 2x⁴ / 7 gange det reciprokke... Det reciprokke af dette er 4 / 5x⁴. I tælleren får vi 8x⁴ --4 gange 2x⁴-- over 7 gange 5x⁴ er 35x⁴. Okay, vi kan reducere det en smule. Både tæller og nævner kan divideres med x⁴ så lad os dividere med x⁴ og vi får 8/35. Dette er defineret for alle x. Der er ikke noget x i udtrykket! Men hvis det skal være algebraisk tilsvarende til det første udtryk, så skal vi have samme betingelse, så x kan ikke være lig 0. Det giver måske ikke meget mening at sige, at x ikke kan være 0 for et udtryk, hvor der ikke er et x. Men forestil dig en funktion g(x), der er lig alt dette halløj. g(0) vil være udefineret. Men hvis du siger, g(x) = 8/35, så er g(0) defineret som 8/35, som er en helt anden funktion. For at gøre dem algebraiske ækvivalente, så kan du skrive, at g(x) er lig 8/35, så længe x ikke er lig 0. Du kan tilføje det er udefineret for x er lig 0, hvis du vil. Du kan undlade denne anden linje, da den stadig ikke er defineret. Men dette udtryk er nu algebraisk ækvivalent med det oprindelige udtryk, selvom vi har reduceret det.