Overgangsformler: symmetri

Lad os se se lidt mere på enhedscirklen. Lad os starte med vinklen θ (theta) og i denne video antager vi, at alt er i radianer. Denne vinkel lige her kalder vi for θ. Lad os vende denne halvlinje over x- og y-aksen. Lad os forresten lige mærke vores akser. Lad os vende den over den positive x-akse. Når du vender den over den positive x-akse, så går du blot lige ned og du er den samme afstand på den anden side. Du kommer hen til dette punkt her og du laver denne halvlinje. Du får denne halvlinje, som jeg forsøger at tegne med blåt. Hvad er vinklen mellem denne halvlinje og den positive x-akse, hvis du starter ved den positive x-akse? Når vi bruger konventionen om at mod uret fra den positive x-akse er en positiv vinkel, så er denne med uret. I stedet for at være θ over x-aksen, så er vi nu θ under. Vi kan derfor i følge konventionen kalde vinklen for minus θ. Lad os nu vende den oprindelige grønne halvlinje over den positive y-akse. Hvis du vender over den positive y-akse, så går vi herfra og helt her over og tegner en halvlinje. Dette er mit bedste forsøg. Hvad vil vinkelmålet her være? Hvad måler denne vinkel i radianer? Vi ved, hvis vi går hele vejen fra den positive x-akse til negative x-akse, så er det π radianer, fordi det er halvvejs rundt om cirklen. Da vi ved, at denne er θ, så bliver den vinkel vi skal finde, som går den anden vej, den bliver så π - θ. Bemærk, at π - θ + θ, disse to er supplementære, så summen af dem er π radianer eller 180 grader. Lad os nu vende denne her over den negative x-akse. Hvis vi vender den over den negative x-akse, så kommer du hertil og du får en vinkel der ser således ud. Hvad måler denne vinkel? Hvis vi går hele vejen her hen, hvad måler så den vinkel? Hertil er π og så går man yderligere θ. Denne vinkel her er θ, så du går π + θ. Hele denne vinkel her er π + θ radianer. Lad mig lige skrive det ned. Dette er π + θ. Nu da vi har set på de forskellige symmetrier, lad os se på sammenhængen mellem sinus og cosinus til disse vinkler. Vi ved allerede, at dette punkt har koordinaterne sin(θ) -- nej, undskyld x-koordinaten er cos(θ) -- x-koordinaten er cos(θ), og y-koordinaten er sin(θ). Eller man kan sige, at denne værdi på x-aksen er cos(θ) og denne værdi på y-aksen er sin(θ). Lad os se på den hernede. Ved at bruge samme konvention, som svarer til enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner, så svarer dette punkt, da vores vinkel er -θ, til cos(-θ) komma sin(-θ). Vi kan gøre det samme her. Dette punkt har x-koordinaten cos(π-θ), da vi går fra den positive x-akse. Dette er cos(π-θ). y-koordianten er sin(π-θ). Nu kan vi gå hele vejen hen til dette punkt. Jeg tror, du kan se, hvor det bærer hen. Dette er cos(π+θ) eller (π+θ) -- jeg skriver π + θ-- og sin(π+θ). Hvilken sammenhæng er der mellem disse? Bemærk, her på den højre side har x-koordinaterne præcis den samme værdi. Denne værdi lige her. Derfor må cos(θ) være lig cos(-θ). Det er interessant. Lad os skrive det ned. cos(θ) er lig -- lad mig skrive det med blåt -- er lig cos(-θ). Det et ret spændende. Hvad med sinus? Her er sin(θ) denne afstand over x-aksen og her er sin(-θ) den samme afstand under x-aksen, så de bliver det modsatte af hinanden. Vi kan sige, at sin(-θ) er lig med - sin(θ). Det er det modsatte. Hvis du går den samme afstand over eller under x-aksen, så får du den omvendte værdi af sinus. Vi kan gøre det samme her. Hvilken sammenhæng er der mellem disse? Disse to har den samme sinus værdi. Sinus værdien af denne, y-koordianten, er den samme som sinus til den her. Vi kan se, at de må være lig hinanden. Lad os skrive det ned. Vi får, at sin(θ) = sin(π-θ). Hvad så med cosinus? Med samme begrundelse, så er de det modsatte af hinanden. x-koordinaten er den samme afstand fra, men på den modsatte side, af origo. Vi får, at cos(θ) er lig -- jeg skifter lige farve -- cos(θ) = - cos(π-θ). Til sidst hvad er sammenhængen mellem disse? Her er cosinus værdien, vores x-koordinat, det omvendte og vores sinus værdi er også det omvendte. Vi har vendt vinklen over begge akser. Lad os skrive det ned. Her har vi sinus til θ + π, som er det samme som π+θ, er lig minus sin(θ). Her er sin(θ) og her er sin(π+θ) eller sin(θ+π). cos(θ+π) = - cos(θ) Du kan fortsætte. Du kan sammenligne denne her med den her eller den her til denne her. Du får alle mulige interessante resultater. Jeg opfordrer dig til at prøve at tænke over dette og se, hvordan de hænger sammen med hinanden ud fra symmetrien over eller spejling i x- eller y-aksen.