Mere om Newtons anden lov

Hvis du står ansigt til ansigt med en avanceret opgave om Newtons anden lov, så har du brug for en avanceret forståelse af Newtons anden lov. Det vil jeg forsøge, at give dig her, så uanset hvilken opgave du skal løse, så ved du hvordan denne lov bruges korrekt. De fleste ved at Newtons anden lov er F er lig med ma, hvilket er fint, men det er en simpel måde at forstå den på, hvilket er godt nok til simple opgaver. Jeg har en asteroide med massen m ude i det ydre rum, hvor der ingen luftmodstand eller friktion er, Der er kun en kraft F, der virker på den, som peger mod højre med 50 newton. Nu kan jeg indsætte 50 newton for kraften, og indsætte massen af asteroiden, lad os blot sige den er 10 kg for massen, så kan jeg finde accelerationen af asteroiden, her 50 over 10 giver 5 meter per sekund i anden. Men, hvad hvis vi havde flere kræfter på denne asteroide? Hvad hvis der var en anden kraft, der pegede mod venstre, på 30 newton? Lad os navngive dem. Lad os kalde denne for F1, som er 50 newton. Lad os sige, at størrelsen på den kraft vi kalder F2 er 30 newton, og den peger til venstre, den negative retning. Disse kræfter har størrelsen opgivet og retningen er vist med pile. Hvad gør jeg så? For at løse dette skal vi forstå, at den venstre side af ligningen ikke kun er kraft, men er nettokraft, eller summen af kræfterne. For at markere at det er nettokraft, så skriver vi det græske bogstav sigma. Sigma er det matematiske symbol, der står for summen af det, der kommer efter det. Dette er summen af kræfterne, da F kommer bagefter. Hvis der stod G, så var det summen af G'erne, hvis der stod H ville det være summen af H'erne. [En forklaring på hvorfor man på engelsk ikke må forvirre "sum of" med "some of"] Altså summen af alle kræfterne. Du lægger alle kræfterne sammen og det er lig med masse gange acceleration. I dette tilfælde har vi 50 newton, som går til højre. Vi kunne sige, at venstre er positiv, hvis der var en god grund, men med mindre der står andet, så vælger vi mod højre til at være positiv. Ligeledes er opad positiv. Så de 50 er positive. Jeg kan ikke blot lægge tallene sammen, jeg skal lægge dem sammen som vektorer. Denne kraft er en vektor. Kræfter er vektorer, så jeg skal lægge dem sammen som vektorer, derfor er det en vektor ligning. Jeg kan ikke sige 50 plus 30 og få svaret, da vektorer der peger mod venstre er negative og vektorer der peger mod højre er positive Derfor tager jeg 50 newton minus 30 newton, som er lig med masse gange acceleration. Jeg kan derfor indsætte 10 kilogram og gange med a, og jeg vil få 20 over 10 er 2 meter per sekund i anden. Du skal altså lægge dem sammen som vektorer. Hvis der havde været flere kræfter, så ville det være nemt, jeg skal blot lægge dem sammen som vektorer. Jeg har endnu en kraft på 25 newton, som vi kalder F3. Lad os sige der er endnu en mod venstre på 40 newton, som vi kalder F4. Jeg kunne fortsætte med at lave flere. Jeg skal lægge dem sammen som vektorer, De 40 newton er mod venstre, så de bliver negative. Jeg indsætter -40 newton, og den her er 25 til højre, så jeg indsætter + 25 newton. Jeg kan finde den samlede kraft, min nettokraft, summen af alle kræfterne, som gør det muligt at bestemme accelerationen. Der er blot lige et problem. Fysikere er ikke længere glade for at skrive det sådan, i hvert fald ikke fysikere der er interesseret i at undervise. De kan ikke lide denne udgave af Newtons anden lov. Mange af dem kan ikke. Det er fordi mange elever misforstår den. De tror, når de tegner kræfter, at m gange a også er en kraft. De vil tegne en ekstra kraft på asteroiden måske mod højre, der er masse gange acceleration. Masse gange acceleration er ikke en kraft. Masse gange acceleration er, hvad nettokraften tilfældigvis er lig med. Hvis du finder nettokraften på et objekt, som er vektorsummen af alle kræfterne på objektet, så bliver det lig med m a. Det er tilfældigvis lig med m a. Men m a er ikke i sig selv en kraft og du kan derfor ikke tegne den som en kraft. Det kan du ikke tegne. Det er ikke en kraft. Der er hvad summen af kræfterne er lig med. Da fysikere indså, at den kan misforståes, så lad os skrive en anden, men lige så god version af Newtons anden lov, som ikke var så nem for at misforstå. Den version af Newtons anden lov ser sådan ud. Acceleration er lig med nettokraft divideret med masse. Du siger du så, "ok og hvad så?" Vi har blot divideret begge sider med massen. Hvad er forskellen? Det er en stor forbedring. Da man er mindre tilbøjelig til at tro at acceleration i sig selv er en kraft. Man er mindre tilbøjelig til at sige acceleration er en kraft her. Nogen vil måske stadig, men færre. Acceleration er ikke en kraft, det er en vektor, men det er ikke en kraftvektor. Denne ligning er også god, da den bedre viser os, hvad accelerationen afhænger af. Den viser at nettokraften forårsager acceleration og at jo større en nettokraft, jo større en acceleration. Den viser, at accelerationen er proportional med nettokraften, eller summen af kræfterne. Den viser, at accelerationen er omvendt proportional med massen. Jo større massen er, jo mindre acceleration. Det er endnu en grund til, at denne ligning er god da den viser os, hvad accelerationen afhænger af, nemlig nettokraften og massen. Der er et andet problem. Denne version er bedre, meget bedre. Når vi skriver det således, så tror vi ikke, at m a er en kraft. Der dog et problem. Hvad hvis jeg tilføjer en kraft herover? En kraft der peger nedad. Denne kraft er på 28 newton. Vi har en F4, så er det F5. F5 er 28 newton nedad. Nu tænker du, jeg ved da godt, hvad jeg så skal gøre. Jeg sniger blot 28 ind herover og skriver det som -28 da den går nedad. Men du kan ikke indsætte -28 newton her. Det er ikke tilladt, Ligesom vi ikke kunne sige 50 plus 30, da vi lægger vektorer sammen, hvor mod venstre betyder minus og mod højre betyder plus, så kan vi ikke tage en lodret kraft og blot lægge dens størrelse til, eller trække den fra størrelsen af de vandrette kræfter. Det er ikke tilladt. En vandret kraft og en lodret kraft lagt sammen vil ikke være lig med summen af eller forskellen på størrelserne. Det jeg siger er, hvis du har en vis kraft til højre og en vis kraft opad, at lægge dem sammen er ikke lig med denne værdi plus denne værdi. Du skal lægge dem sammen ved at bruge Pythagoras' læresætning. For at lægge disse vektorer sammen, skal du lave denne vektor. Det vil være din sumvektor. Du bliver nødt til at sige a i anden plus b i anden er lig med den samlede kraft i anden, herover mellem disse to vektorer. Nu tænker du, åh nej jeg gider ikke lave trigonometri. Det viser sig at det behøver du ikke, i det mindste ikke endnu. Hvis dette er de eneste kræfter vi har, så behøver vi ikke gøre det på denne måde. Jeg viser dig blot, at du ikke slavisk kan lægge 50 og -28 sammen og forvente at få det rigtige svar. Her er hvad du gør. Du tager de vandrette kræfter først. Du behandler dem i den vandrette retning først. Dernæst kun dem i den lodrette retning. Det er dette trick fysikere altid laver: Del og Hersk. Vi tager alle de vandrette kræfter og putter dem i deres egen ligning. Da de vandrette kræfter kun påvirker den vandrette acceleration. Hvis jeg kun vil bestemme den vandrette acceleration, så lægger jeg kun de vandrette kræfter sammen, da det vil give mig den vandrette acceleration. Eller, jeg lægger kun de lodrette kræfter sammen og får den lodrette acceleration. Jeg laver en særskilt ligning for hver retning. Jeg kan finde accelerationen i hver retning ved at bruge kræfterne i denne retning. Dette er en smart metode. Vi behandler hver retning særskilt. Lad os sige, at disse er vektorer for acceleration, og vi vil bestemme den samlede acceleration. Vi brugte kræfter før, men alle vektorer lægges sammen på samme måde. Du kan bruge Pythagoras' læresætning. Hvis du kender a i x retningen, den samlede acceleration i x retningen, og du kender den samlede acceleration i y retningen, så kan du finde den samlede acceleration ved at bruge Pythagoras' læresætning. Dette er blot en metode du kan bruge, når kræfter peger i flere retninger. Lad mig lige lave en kraft mere, da vi mangler en, der peger opad. Nu har vi i alle retninger. Dette bliver F6, som er 42 newton opad Hvad gør vi nu? Vi har allerede beregnet x retningen. Det her er retning x, og det her er alle kræfterne i x retningen der er lig med masse gange acceleration i x retningen. Det er ikke skrevet ved at bruge denne version. Der er ganget med 10 på den højre side i stedet for at dividere. Det er den formel du kan bruge til at samle alle kræfterne i x retningen. for at få accelerationen i x retningen. Vi tager alle disse kræfter og indsætter dem for nettokraften mod x dividerer med massen og vi har accelerationen i x retningen. For y retningen, så siger vi accelerationen i y retningen svarer til nettokraften i y retningen, som vi bestemmer hvordan? Kun de lodrette kræfter vil påvirke den lodrette acceleration. Jeg kan tage F6, som er 42 newton, den peger op, så den er positiv. Vi ikke har en god grund til at nedad skal være positiv, så vi bruger standardmåden. 42 - 28, 28 peger nedad. Vi vælger typisk den som den negative retning. Nu kan vi dividere med massen, så vi dividerer med 10 kilogram, og får accelerationen i den lodrette retning. Nu da vi begge disse to, så kan vi sige a x i anden plus a y i anden er lig med den samlede a i anden og bestemme størrelsen af den samlede acceleration. Ok, lad os gøre det et trin sværere og se hvad der sker. Jeg flytter denne lidt for at lave lidt plads. Vi bruger de 40 newton igen, men jeg putter den lige her. Lad os sige, der en endnu en vektor, en vektor der peger denne vej, og lad os kalde den F7. F7 er 45 newton. 45 newton men på en vinkel, som vi kan sige er 30 grader. Hvad vil du nu gøre? Dette er et endnu mere avanceret opgave om Newtons 2. lov. Det er nu, det begynder at skræmme folk. De ved ikke, hvad de skal gøre, og de indsætter 45 newton i en af ligningerne. De tror måske 45 skal gå i x retningen, fordi den peger til venstre, altså vandret, som er x. Men den peger også lodret, så nogen indsætter 45 i den lodrette ligning. De lægger 45 til her, men det er forkert. Det kan man ikke gøre fordi kun lodrette kræfter og komponenter af kræfter kan indsætte i denne lodrette ligning. Kun vandrette kræfter og vandrette komponenter af kræfter kan indsættes i den vandrette ligning. Vi skal derfor opdele den. Vi skal tage de 45 newton, der peger op og til venstre. Den skal opdeles efter hvor meget, der går til venstre og hvor meget der går op. Hvilken komponent af kraften, der går i x retningen og hvilken komponent der går lodret. Jeg kalder den F7 i y retningen, og denne komponent vil være F7 i x retningen. Det bliver en smule rodet, jeg undskylder. Vi skal finde ud af, hvad disse komponenter er. Så kan vi indsætte F7 x i ligningen for x og F7 y i ligningen for y. Men jeg kan ikke indsætte 45 i en af ligningerne, da der hverken er 45 Nnewton i den lodrette eller vandrette retning, den er delvis i begge retninger. Nu skal vi bruge trigonometri i vores udregning. I stedet for at bruge Pythagoras' læresætning, så skal vi opdele de 45 newton i komponenter. Det gør vi ved at bruge definitionerne for sinus og cosinus. Nu laver jeg den lidt større herover. Hvis denne side er 45 newton, så vil denne side være den hosliggende til de 30 grader, altså F7 i x retningen. og denne side er den modstående side til de 30 grader, altså F7 i y retningen. Nu skal vi bruge sinus og cosinus. Lad os bruge deres definitioner. Definitionen for cosinus af theta er hosliggende over hypotenusen. Den hosliggende til de 30 grader er den side der rører ved vinklen, altsp F7 x. F7 i x retningen over hypotenusen er størrelsen af denne kraftvektor, som er 45 newton. Nu kan jeg løse for F7 i x retningen, som er 45 newton gange cosinus til 30 grader. Hvad værdi det så end er, så har jeg nu F7 i x retningen. Du kan udregne det, hvis du vil. Jeg tager det og indsætter det i ligningen for x retningen. Jeg indsætter det lige her, men skal det være positivt eller negativt? Det er en smule vanskeligt. F7 y peger op. F7 x går mod venstre. Dette er x komponenten, og den går mod venstre. At den også går op, er ligegyldigt for x. Denne komponent går mod venstre, så vi skal indsætte den som -45 newton gange cosinus til 30. Nu y retningen. Vi kan bruge definitionen for sinus af theta. Sinus til theta er F7 i y retningen, som er den modstående side, over hypotenusen. Den modstående side, F7 i y retningen, over hypotenusen, som er 45 newton. Vi får at, F7 i y retningen er 45 newton gange sinus af 30 grader. Jeg kan tage dette, som er y komponenten, og indsætte i ligningen for y retningen. Skal det være positivt eller negativt? y komponenten peger opad, så det bliver plus 45 newton gange sinus til 30 grader. Puha. Nu er du klar til at bruge Newtons 2. lov. Kræfterne er måske ikke kræfter på asteroider, måske de er gravitationskræfter eller normalkræfter eller friktion. Måske det er kræfter i flere retninger. Disse regler gælder uanset om kræfterne går op, ned, venstre, højre eller skråt. Nu ved du, hvordan du skal bruge Newtons anden lov, uanset hvilken retningen kræften peger i.