Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 2

Modul 5: Multiplikation af komplekse tal

Multiplikation af komplekse tal

Lær at gange to komplekse tal. For eksempel gange (1+2i)⋅(3+i).

Et komplekst tal er et vilkårligt tal, der kan skrives som

a + b i

, hvor

i

er den imaginære enhed og

a

b

er reelle tal.

Når du ganger komplekse tal, er det nyttigt at huske, at de regneregler vi bruger, når du ganger parenteser ud med reelle tal. De virker på samme måde for komplekse tal.

Nogle gange er det nyttigt at tænke på

i

som en variabel, f.eks.

x

. Derved ganger vi komplekse tal, som vi ganger reelle tal, blot med et par nye trin til sidst. Lad os gennemgå nogle eksempler.

Multiplikation af et reelt tal med et komplekst tal

Eksempel

Udregn

- 4 (13 + 5 i)

. Skriv svaret på standardform

a + b i

Løsning

Hvis din intuition fortæller dig, at du skal gange

- 4

ind i parentesen, så har din intuition ret. Lad os gøre det!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

Og var er det! Vi brugte den distributive lov til at gange et reelt tal med et komplekst tal. Lad os prøve noget lidt mere kompliceret.

Multiplikation af et rent imaginært tal med et komplekst tal

Eksempel

Udregn

2 i (3 - 8 i)

. Skriv svaret på standardform

a + b i

Løsning

Lad os igen starte med at gange

2 i

ind i parentesen.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

Udtrykket er ikke på formen

a + b i

, da det indeholder

i^{2}

Da vi ved, at

i^{2} = - 1

, kan vi omskrive udtrykket:

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

Ved at bruge den kommutative lov kan vi skrive svaret som

16 + 6 i

. Så,

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

Tjek din forståelse

Opgave 1

Udregn $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
Skriv dit svar på formen $a + b i$ ‍.

Opgave 2

Udregn $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
Skriv dit svar på formen $a + b i$ ‍.

Fremragende! Vi er nu klar til næste trin! Nu kommer en mere typisk opgave, nemlig multiplikation af to komplekse tal.

Multiplikation af to komplekse tal

Eksempel

Udregn

(1 + 4 i) (5 + i)

. Skriv svaret på standardform

a + b i

Løsning

I dette eksempel er det måske en god ide, at tænke på

i

som en variabel.

Fremgangsmåden, når to komplekse tal skal ganges med hinanden, er meget lig multiplikation af to-leddede størrelser! Gang hvert led i det første tal med hvert led i det andet tal.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

i^{2} = - 1

, kan vi erstatte

i^{2}

med

- 1

, så svaret kommer på formen

a + b i

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

Tjek din forståelse

Opgave 3

Udregn $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
Skriv dit svar på formen $a + b i$ ‍.

Opgave 4

Udregn $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
Skriv dit svar på formen $a + b i$ ‍.

Opgave 5

Udregn $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
Skriv dit svar på formen $a + b i$ ‍.

Opgave 6

Udregn $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
Skriv dit svar på formen $a + b i$ ‍.

Udfordrende opgaver

Opgave 1

Lad $a$ ‍ og $b$ ‍ være reelle tal. Hvad er $(a - b i) (a + b i)$ ‍?

Opgave 2

Udregn og reducér. $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
Skriv dit svar på formen $a + b i$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.