Opstilling af eksponentialmodeller: halveringstid

Der står, at carbon-14 er grundstof, der mister præcis halvdelen af sin masse for hver 5730 år. Massen af en prøve med carbon-14 kan modelleres med funktionen M, som afhænger af dens alder t i år. Vi måler startmassen af carbon-14 i prøve til at være 741 gram. Opstil en funktion der modellerer den resterende masse af carbon-14 efter t år efter den første måling. Ok, som altid sæt videoen på pause, og se om du kan skrive funktionen M(t). Hvor t er år efter den første måling. Okay, lad os lave den sammen. Jeg kan godt lide at starte med at lave en tabel, for at få en fornemmelse for opgaven. Lad os se på t. Hvor lang tid, hvor mange år, der gået efter den første måling og hvilken masse er der så? Vi kender startmassen af carbon-14. Den var 741 gram. Når t er lig 0, så er massen 741. Et andet t som vi kan se nærmere på? Vi ved, at efter 5730 år, så er præcist halvdelen af massen forsvundet. Så hvad sker der, når t er 5730? Halvdelen af massen er tabt, så vi skal gange dette med 1/2. Det bliver 741 gange 1/2. Jeg udregner ikke værdien. Nu går der igen 5730 år. Hvor mange år er det? Jeg skriver blot 2 gange 5730. Jeg kan udregne det. 10000, 11460 eller der omkring Vi skriver blot 2 gange 5730. -- 10000 plus 1400, så 11400 + 60, så 11460 -- Men jeg lader dette stå. Dette skal ganges med 1/2. Det bliver 741 gange 1/2 gange 1/2. Vi ganger altså igen med 1/2. Dette er det samme som 741 gange 1/2 opløftet til 2. Hvis vi igen venter 5730 år, altså 3 gange 5730 år, Så skal dette ganges med 1/2. Det bliver 741 gange 1/2 opløftet til 3. Du ser måske et mønster. 1/2 skal opløftes til antallet af halveringstider, og det ganges med startmassen. Dette er 1 halveringstid, 2 halveringstider og eksponenten er 2. 3 halveringstider og vi ganger med 1/2 opløftet til 3. Hvordan skriver vi det som M(t)? M(t) bliver begyndelsesværdien 741 gange -- dette er jo en eksponentialfunktion -- Vi skal gange med fremskrivningsfaktoren det antal gange, der er halveringstider. Hvordan ved vi, hvor mange halveringstider der er gået? Vi dividerer t med halveringstiden. Lad os tjekke det. Når t er 0, så får vi 1/2 opløftet til 0, som er 1 og vi får 741. Når t er lig 5730, så bliver eksponenten 1, som vi gerne vil have. Vi ganger dermed vores begyndelsesværdi med 1/2. Når t er 2 gange 5730, så bliver eksponenten 2, og vi ganger med 1/2 opløftet til 2. Vi kan også indsætte værdier i midten ind. Når vi har en brøkdel af en halveringstid, så får vi en eksponent, der ikke er et heltal, men det kan vi godt. Så her er vores funktion. Vi er færdige. Vi har skrevet vores funktion M, der modellerer den resterende masse af carbon-14 t år efter den første måling.