Opstilling af eksponentialmodeller: procentvis ændring

Chepi er biolog og har observeret bestanden af narhvaler i Ishavet. Bestanden mindskes med 5,6% for hver 2,8 måneder. Bestanden af narhvaler kan modelleres med funktionen N, der er afhængig af tiden t i måneder. Da Chepi begyndte sit studie var der 89000 narhvaler i Ishavet. Opstil en funktion, der modellerer bestanden af narhvaler t måneder efter Chepi begyndte sit studie. Som altid, sæt videoen på pause og se om du kan lave opgaven inden vi laver den sammen. Okay, lad os lave den sammen. For at få en fornemmelse af hvad der sker, så laver jeg altid en tabel, for nogle velvalgte inputs og ser hvordan funktionen opfører sig. t i måneder og N(t) er modellen, hvor N er antallet af narhvaler. Når t er 0, hvad er så N(0)? Hvis t er 0, så ved vi, at der er 89000 narhvaler i ishavet. Hvad er en anden god værdi? t er antallet af måneder og vi ved, at bestanden mindskes med 5,6% for hver 2,8 måneder. Lad os derfor vælge t er 2,8 måneder. Da skal bestanden være mindsket med 5,6%. At mindskes med 5,6% er det samme som at bibeholde 100 - 5,6, så 94,4%. Du har 100% og du mister 5,6%, så har du 94,4% tilbage. -- 0,6 + 0,4 er 95 + 5 er 100 -- I stedet for at sige, at bestanden mindskes med 5,6% for hver 2,8 måneder, så kan man sige at bestanden er 94,4% af dens størrelse for hver 2,8 måneder. Eller den mindskes til 94,4% af dens størrelse for hver 2,8 måneder. For hver 2,8 måneder kan du enten sige, at bestanden mindskes med 5,6% eller den er 94,4% af dens størrelse. Efter 2,8 måneder er bestanden 89000 gange 94,4% eller 0,944. Hvis der går endnu 2,8 måneder, altså 2 gange 2,8 -- jeg kan skrive 5,6 måneder, men jeg foretrækker 2 gange 2,8 måneder -- Så er der? Der er 89000 gange 0,944 i begyndelsen af dette tidsrum men der er nu 94,4% af dette, så vi skal igen gange med 94,4% eller 0,944 igen. eller vi kan sige 0,944 opløftet til 2. Efter 3 af disse tidsrum, så skal vi igen gange med 0,944, så det bliver 89000 gange 0,944 opløftet til 2 gange 0,944. som er 0,944 opløftet til 3. Jeg tror du kan se, hvor det bærer hen. Vi har en eksponentiel funktion. For hver 2,8 måneder ganges med fremskrivningsfaktoren 0,944. Nu kan vi skrive vores funktion N(t). Vores begyndelsesværdi er 89000 gange 0,944 opløftet til -- hvor mange tidsrum på 2,8 måneder har vi haft? -- Vi tager antallet af måneder og dividerer det med 2,8, så har vi antallet af tidsrum på 2,8 måneder. Når t er 0, så bliver alt dette lig 1, og du får 89000. Når t er lig 2,8, så bliver eksponenten 1 og vi ganger med 0,944 en gang. Når t er 5,6 så bliver eksponenten 2, og vi ganger med 0,944 to gange. Jeg bruger kun værdier, hvor eksponenten bliver et heltal, men du kan bruge alle værdier i mellem. Du kan prøve at lave grafen eller prøve at putte disse værdier ind i en lommeregner. Men sådan vi er færdige. Vi har lavet en model for bestanden af narhvaler.