Gange to-leddede størrelser med polynomier: arealmodel

I denne video vil jeg vise forskellige måder at skrive arealet af hele dette store rektangel, som er opdelt i 6 mindre rektangler. Der er et par forskellige måder at gøre det på. Vi kan gange højden af det store rektangel med bredden af det store rektangel. Hvad er højden? Afstanden fra her til her er y². Og afstanden fra her til der er -6y. Nu tænker du nok, hvordan kan en afstand være -6y? Er afstande ikke altid positive? Faktisk kan -6y være positiv, hvis y er negativ, så der er rimeligt at sige, at denne afstand kan være -6y. Hele højden her er y² - 6y. Eller du kan skrive y² plus denne afstand, som er -6y, så y² plus -6y, som er det samme som y² - 6y. Det er højden af dette store rektangel. Hvad er dets bredde? Bredden er bredden af dette lilla rektangel, som er 3y², plus bredden af dette gule rektangel, som er -2y, og vi kan have dette minustegn her af samme grund som for -6y. og plus bredden af dette blå rektangel. Hvis du lægger dem alle samen, så er bredden af hele rektanglet 3y² - 2y + 1. Sådan, det udtryk jeg har skrevet her svarer til arealet af hele dette store rektangel. Der er en anden måde at gøre det på, og et hint, er at rektanglet er opdelt i disse seks mindre rektangler, og vi har dimensionerne for disse rektangler. Vi kan finde arealet af hvert af dem og lægge dem sammen. Lad os se på det første. Højde gange bredde. Arealet af det lilla rektangel er højden, som er y², gange bredden, som er 3y². Det er lig med 3 og y² gange y² er y⁴, så 3y⁴ Hvad er arealet af det gule rektangel? Højden er y². Så det bliver y² gange bredden, så -2y. Det bliver -2y³. Hvad med det blå? Højde gange bredde, det bliver y² gange 1, som er y². Det grønne har en højde, som er -6y gange bredden, som er 3y², så vi får -6 gange 3 er -18, og y gange y² er y³. Arealet af dette grå rektangel er højden, som er -6y gange bredden, som er -2y, så vi får -6 gange -2, som er plus 12, y gange y er y². Til sidst arealet af det rektangel her er højden, som er -6y gange bredden som er 1. så det bliver -6y. Hvis vi vil finde arealet af hele dette rektangel, så lægger vi blot arealerne af de små rektangler sammen, så det bliver 3y⁴ plus -- lad mig lige skrive det i en farve, der svarer til-- -2y³ + y² - 18y³ + 12 y² -- jeg skriver det med sort -- så + 12y² og sidst men ikke mindst har vi -6y. Dette udtryk svarer til arealet af det hele, men vi kan reducere det. Vi har kun et led i fjerde grad, så det skriver jeg igen. Vi har et led i fjerde grad, 3y⁴. Hvor mange led har vi i tredje grad? Vi har -2y³. Vi har -18y³ De to kan vi lægge sammen, og hvor mange y³ har vi så? Vi har -2 plus -18 som er -20, så -20y³. Hvor mange led i anden grad har vi? Vi har 1y² her og vi har 12y² her. Når du lægger dem sammen har vi 13y². Og til sidst skal vi trække 6y fra. Sådan, her er et andet udtryk for arealet af hele rektanglet. Grunden til vi gør dette er, så vi kan indse at dette heroppe og dette hernede er tilsvarende, og måden som man ganger på svarer til hvordan vi finder arealerne af disse mindre rektangler Du ville sige y² gange 3y² er 3y⁴. y² gange -2y er -2y³. y² gange 1 er y², hvilket er præcis, hvad vi gjorde, da vi fandt arealet af disse rektangler, som er i den øverste række. Og du tager -6y og ganger med 3y², hvilket er -18y³. -6y gange -2y er plus 12y². -6y gange 1 er -6y. Så dette er ikke en eller anden form for fiksfakseri, det giver mening, når man ser på arealmodeller som denne.