Fortegn af den gennemsnitlig hældning af polynomier

Vi er givet funktionen h(x) og bliver spurgt om, i hvilket interval har h en positiv gennemsnitlig hældning? Som altid, sæt videoen på pause og prøv selv før vi laver opgaven sammen. Okay, lad os lave den sammen. Lad os først lige minde os selv om, hvad en gennemsnitlig hældning er. Du kan se det som ændringen i funktionsværdien over en givet ændring i x. Vi kan også skrive x-værdien i slutpunktet minus i startpunktet og i tælleren er det funktionsværdien i slutpunktet minus funktionsværdien i startpunktet. Vi bliver ikke bedt om at udregne dette i disse intervaller, men hvorvidt den er positiv. Hvis du ser herover, når x værdien af slutpunktet er større end i startpunktet, så er der en positiv gennemsnitlig hældning hvis funktionsværdien i slutpunktet er større end i startpunktet. Hvis funktionsværdien er større i slutpunktet end i startpunktet, så er der en positiv gennemsnitlig hældning. Lad os se, om det sker i nogle af disse valgmuligheder. h(0). Dette startpunkt er lig med 0, hvis jeg siger 1/8 gange 0 minus 0. h(2) er lig med 1/8 gange 2 i tredje, det er 8, Så 1/8 gange 8 er 1 minus 4, det er minus 3. Så her er h i slutpunktet ikke større, så det er en negativ gennemsnitlig hældning. Den fjerner jeg. Som hjælp til at visualisere dette, har jeg afbildet funktionen med Desmos. Nu kan vi se, at der er en negativ gennemsnitlig hældning fra x er lig med 0 til x er lig med 2. Når x er lig med 0, så er funktionen her, når x er lig med 2, så er funktonen her. Du kan se, når x er lig med 2, så har vi en lavere funktionsværdi. Du kan sige at den gennemsnitlige hældning svarer til hældningen af den linje, der forbinder intervallets endepunkter. Du kan se, at den har en negativ hældning, så har vi en negativ gennemsnit hældning mellem de to punkter. Hvad med disse to? Vi ved allerede at h(0) er 0. Hvad med h(8)? Det er 1/8 gange 8 i tredje -- hvis jeg siger 8 i tredje divideret med 8, så er det det samme som 8 i anden, som er 64 -- minus 8 i anden, som er minus 64, så det er lig med 0. Her har vi en gennemsnitlig hældning på 0, da tælleren er nul. Vi kan fjerne den. Når du kigger her, når x er nul, så er funktionen her og når x er 8, så er funktionen her, og du kan se at hældningen af den linje, der forbinder disse to punkter er nul. Den gennemsnitlige hældning mellem disse to punkter er nul. Hvad med C? h(6) er lig med 1/8 gange 6 i tredje, 36 gange 6 er 180 plus 36, det er 216, 216 minus 36. 216 er 6 gange 6 gange 6, og når vi dividerer det med 8, så er det det samme som 6/8 af 36. Vi kan reducere det til 3/4 gange 36 minus 36, som er lig med -9. Du kunne have brugt en lommeregner eller lavet division, men forhåbentlig gav det mening, hvad jeg gjorde her. Lidt aritmetik. Ved h(6) er vores funktionsværdi -9 og h(8) -- jeg tegner lige en linje så det ikke bliver for rodet -- kender vi allerede og den er 0. Så funktionsværdien er større i dette punkt end i dette punkt, så vi har en positiv gennemsnitlig hældning. Så jeg vil vælge dette svar her. Og du kan visualisere svaret her. h(6), når x er 6, er -9. Når x er 8, så er funktionsværdien 0. Den linje, der forbinder disse to punkter, har en positiv hældning. Derfor har vi en positiv gennemsnitlig hældning i dette interval. Hvis vi sad alene og lavede dette, ville vi være færdige, men lad os lige tjekke denne her. Hvis vi sammenligner h(0), som vi ved er 0 og h(6), som vi ved er -9, så er dette en negative gennemsnitlig hældning, da slutpunktet har en lavere funktionsværdi end startpunktet. Den kan vi se bort fra. Hvis du går fra x er lig med 0 til x er lig med 6, så ser det sådan ud. Linjen har tydeligvis en negativ hældning, så vi har en negativ gennemsnitlig hældning.