Restsætningen for polynomier: nogle eksempler

Vi har en graf er af y, som er lig med P(x). Jeg skriver det sådan, y er lig med P(x). Der spørges, hvad er resten, når P(x) divideres med (x + 3)? Sæt videoen på pause og prøv selv. Svaret skal være et heltal. Du har måske indset, at dette handler om restsætningen for polynomier. Den fortæller os, hvis vi dividerer P(x) med (x + 3), så vil resten, som er lig med k, svare til det vi får, hvis vi udregner værdien af P(x) for den værdi af x, der giver (x + 3) er lig med 0, eller den værdi vi får, hvis vi udregner polynomiet for x lig med -3. Du skal være forsigtig her, nogle bliver lidt forvirret. De ser et +3 og så finder de resten ved at udregne værdien af polynomiet med +3. Nej! Hvis du ser +3 her, så skal du indsætte -3 i polynomiet. P(-3) er lig med k. Hvad er resten, når P(x) divideres med (x + 3)? Den bliver lig med P(-3). P(-3) ser ud til at være -2. Det er lig med -2, så vores rest er lig med -2. Lad os lave endnu et eksempel. Nej, flere eksempler mere. Her er P(x) lig med alt dette, hvor k er et ukendt heltal, spændende. P(x) divideret med (x - 2) har en rest på 1. Hvad er værdien af k? Sæt videoen på pause og se om du kan finde ud af det. Den anden sætning, P(x) divideret med (x - 2) har en rest på 1, fortæller os, ikke P(-2), men P(+2), den værdi af x, der gør (x - 2) lig 0, så P(2) er lig med 1. Vi kan bruge den øverste sætning til at finde ud af, hvad P(2) er. Det er 2⁴ minus 2 gange 2³ plus k gange 2² - 11. Alt dette er lig P(2), som er lig med 1. 2⁴ er 16. 2 gange 2³ er -16. + 4k - 11 er lig med 1. De to går ud med hinanden. Nu kan vi lægge 11 til på begge sider af ligningen. Vi får, 4k er lig med 12. Dividerer begge sider med 4 og vi får, k er lig med 3. og vi er færdige. Lad os lave endnu et eksempel. Nej to mere, da vi hygger os. I den næste opgave er P(x) er polynomium. P(x) divideret med disse forskellige udtryk giver disse rester. Find følgende værdier af P(x), P(-4) og P(1). Sæt videoen på pause og prøv selv. Okay, P(-4) svarer til resten, når P(x) divideres med hvad? Du er måske fristet til at sige (x - 4), men de forsøger at snyde dig med vilje. Dette er resten, når P(x) divideres med (x + 4). De fortæller os her, at P(x) divideret med (x + 4) har en rest på 3. Så svaret bliver 3. På samme måde P(1) svarer til resten, når P(x) divideres, ikke med (x + 1), men (x - 1). P(x) divideret med (x - 1) har resten 0. Lad os lave et sidste eksempel. P(x) er et polynomium. Nogle værdier af P(x) er givet. Hvad er resten, når P(x) divideres med (x - 3)? Sæt videoen på pause og se på det. Vi har gjort det flere gange, men resten, når P(x) divideres med (x - 3), svarer ikke til P(-3), men P(+3). Den værdi af x, der får hele dette udtryk til at være lig med 0. P(+3) er lig med 5. Ligeledes hvad er resten -- faktisk ikke helt så magen til, spændende -- Hvad er resten, når P(x) divideres med x? Nu tænker du nok, vent hvad? Hvad tal snakker vi om? Hvis jeg omskriver dette, så i stedet for divideret med x, vi skriver divideret med (x + 0), så vil du sige, "åh, nu forstår jeg". Eller jeg skrev divideret med (x - 0), så siger du, "åh nu forstår jeg". Det gør ikke noget, om det er +0 eller -0, det bliver P(0). P(0) er givet som -1. og vi er færdige.