Tekstopgave med geometrisk talrække: svingende abe

Vi får at vide, at en abe svinger i et træ. Første sving har en bue med en længde på 24 meter. Hver efterfølgende bue har en længde, der er 1/2 så lang som den forrige bue. Hvad sker der her? Lad os sige dette er enden af rebet eller lianen, som aben svinger i. Så den første bue -- jeg tegner lige en lille abe her, dette er min abe -- den første gang svinger aben sig 24 meter. Noget i denne retning. Denne bue er 24 meter. Den anden bue, når hun svinger sig tilbage igen, er halvt så lang som den forrige bue. Så hun vil komme tilbage, men kun halvt så langt og måske svinge hertil. Så det være 12. Det næste vil være halvt så langt, så 6 meter. Hun svinger hertil. Det giver mening. Det passer med vores egen erfaring med at svinge i træer, hvis vi har gjort det. Lad os se på det første spørgsmål. Hvilket udtryk svarer til den samlede længde af abens første n buer. Sæt videoen på pause og se, om du kan gøre det, Du kan skrive det på to måder, som en geometrisk talrække, men også som summen af en geometrisk talrække, som vi kan udregne. Lad os gøre det sammen. Vi ved allerede, at den første bue er 24 meter. Den anden bue, -- du fik du et hint, da jeg sagde, det var en geometrisk talrække -- svinger hun halvt så langt. Jeg kunne blot skrive 12 her, men 1/2 er interessant. Det er den gennemgående faktor i min geometriske talrække. I hvert sving bliver buen halvt så lang som i det forgående sving. Det bliver 24 gange 1/2. Det næste bliver det halve. Det bliver 24 gange 1/2 gange 1/2, eller 24 gange (1/2)². Så dette er de tre første sving. Bemærk, at eksponenten her er 2. For sving n, der får vi 24 gange 1/2, ikke opløftet i n'te, men i n - 1. Efter to sving har vi 24 gange (1/2)¹ Efter tre sving i anden potens. Efter n sving n-1 potens. Nu sagde jeg, vi ikke kun ville have dette udtryk. Vi vil også gerne vide, hvordan vi udregner det? Det gør vi ved at bruge den sumformel som vi har opstillet og set i andre videoer. Sumformlen for en endelige geometrisk talrække. Jeg skriver den lige her over. Summen af de første n led, er a, hvor a er det første led. Det er 24 i denne opgave. Det er a minus a gange den gennemgående faktor -- jeg har allerede sagt, at den gennemgående faktor er 1/2 -- opløftet til den n'te potens. Jeg kan huske formlen som det første led minus det led som vi ikke inkluderer. Altså minus det led, der kommer efter dette. Alt dette over 1 minus den gennemgående faktor. Du har måske set det skrevet anderledes. Du kan sætte a udenfor parentes, så du får a (1- rⁿ), alt sammen over 1 - r. Disse to er tilsvarende. Lad os bruge den. Det bliver lig med -- jeg vil bruge den anden version -- vores første led a er 24. Så vi skal have 24 gange 1 minus den gennemgående faktor, som er (1/2)ⁿ. Vi skal bruge de første n sving, så jeg lader n være her. Alt dette over 1 minus den gennemgående faktor. 1 - 1/2. Vi kan stoppe here, eller kan reducere det en smule. 1 - 1/2 er 1/2. 24 divideret med 1/2 er 48. Du kan reducere det til 48 (1 - (1/2)ⁿ). Begge disse kan bruges. I den næste del står der, hvad den samlede længde af abens sving, når hun har lavet 25 sving? Afrund dit svar til nærmeste hele meter. Sæt videoen på pause og se, om du kan finde ud af det. Okay, vi kan bruge dette udtryk. Vi ved, der er lavet 25 sving, så n er 25. Vi indsætter derfor 25 her. Så det bliver 48 (1 - (1/2)²⁵). Den del bliver et meget meget lille tal. Svaret bliver derfor tæt på 48 meter, men lad os se, hvad det er lig med. Vi skal afrunde til nærmeste hele meter. Lad os hente vores lommeregner frem. Jeg indtaster 0,5²⁵. Det er, som jeg sagde, et meget lille tal, som vi skal trække fra 1. Jeg taster blot et minus og lægger 1 til. Det bliver meget tæt på 1, så mit bud holdt stik. Hvis jeg ganger det med 48, og vi afrunder til nærmeste meter, så får vi 48. Det bliver 48 meter Og vi er færdige.