Eksempel: endelige geometriske talrækker

Vi skal finde summen af de første 50 led af denne talrække. Du ser måske med det samme, at det er en geometrisk talrække. Når vi går fra et led til det næste, hvad gør vi så? Vi ganger med 10/11. Når du går fra 1 til 10/11, så ganges med 10/11. så ganger du igen med 10/11 og det bliver vi ved med. Vi skal finde de første 50 led. Vi kan bruge den formel, som vi opstillede for summen af en endelig geometrisk talrække. Summen af, i dette tilfælde, de første 50 led, -- lad mig lige skrive det hernede -- Summen af de første 50 led er lig med det første led, som er 1, gange -- lad mig lige bruge en anden farve -- 1 (1 minus den gennemgående faktor som her er 10/11, opløftet til 50 potens, den samme potens som vi har led. Alt dette over 1 - den gennemgående faktor. Jeg løser den ikke, men vi kan reducere en smule. Det bliver 1 - -- jeg laver lige en parentes, for at være sikker på, at vi putter det hele i 50. potens -- så 1 - (10/11)⁵⁰ over 11/11 - 10/11, som er 1/11. Dette er det samme som at gange med 11 i tælleren. Det bliver lig med 11 ( 1 - (10/11)⁵⁰). Du kan reducere yderligere, men det er blot aritmetik. Lad os lave en anden, det er da temmelig sjovt. Dette er tydeligvis en geometrisk talrække. Lad os først finde ud af, hvor mange led vi skal finde summen af? Du er nok fristet til at sige, da dette er i 79. potens, så der må være 79 led, men du skal være meget forsigtig. Det første led er opløftet til 0. potens. Det er 0,99⁰. Det andet led er i 1. potens. Det tredje led er i 2. potens. Det fjerde led er i 3. potens og så videre, så dette er det 80. led, Så vi skal finde S₈₀ som er lig med det første led, som er 1 gange 1 minus den gennemgående faktor opløftet til 80. potens over -- det lader jeg lige stå tomt, da vi ikke kender vores gennemgående faktor-- over 1 - den gennemgående faktor. Du tror måske, at den gennemgående faktor er 0,99. Men bemærk fortegnet ændrer sig. Hvordan går man fra et led til det næste? Hvad ganger vi med? Når vi går fra det første til det andet led, så ganger vi med -0,99. Når vi går til det næste led, så ganger vi igen med -0,99. Den gennemgående faktor er ikke +0,99, men -0,99. Det skal opløftes til 80. potens. alt sammen over 1- (-0,99). Vi kan reducere dette en smule. Det er lig med -- vi skal ikke bekymre os om dette 1. Det er lig med 1 - (-0,99)⁸⁰. Jeg bruger parentes for at sikre det er minus 0,99, der opløftes til 80. potens. Vi har en lige eksponent, så fortegnet bliver positivt. Det er det samme som 0,99⁸⁰. Alt sammen over -- -- at trække noget negativt fra er det samme som at lægge noget positivt til -- alt sammen over 1,99. Vi kunne fristes til at reducere yderligere, men hvis vi havde en lommeregner, så kunne vi udregne den præcise værdi. Nåh ja, de fleste lommeregnere vil ikke give dig den præcise værdi, når du har noget opløftet til 80. potens, men dette er summen. Lad os lave en mere. Her har vi en talrække som er skrevet med en rekursiv formel. Det er derfor nyttigt at finde ud af, hvordan den egentlig ser ud. Det første led er 10. Det næste led, som er a₂, er lig med a₁ gange 9/10. Det næste led bliver det forrige led gange 9/10. Det bliver 10 gange 9/10. Det tredje led bliver det andet led gange 9/10, eller 10 (9/10)². Det er ikke skrevet her som en endelige geometrisk talrække. Så lad os sige, vi skal finde summen af de første 30 led. Hvad bliver den? Vi skal finde S₃₀ summen af de første 30 led. som bliver lig med det første led, -- vi har gjort det før -- det første led gange 1 minus den gennemgående faktor opløftet til 30. potens, alt over 1 minus den gennemgående faktor. 1 - 9/10, det er 1/10, så du dividerer med 1/10, så vi skal gange med 100 i tælleren, så det bliver 100 (1 - (9/10)³⁰). Du bør altid huske denne parentes, for at være sikker på, at både 9 og 10 er opløftet til 30. potens, ikke kun 9, sådan vi er færdige.