Nulpunkter i polynomier (med faktorisering): fælles faktor

Vi er givet p(x), der er et tredjegradspolynomium, og vi skal afbilde alle dets nulpunkter eller skæringer med x-aksen i det interaktive koordinatsystem. Grunden til der står interaktiv er fordi det er et screenshot fra Khan Academy, hvor du kan klikke for at afbilde punkterne. Vi skal finde de værdier af x, der gør p(x) lig 0. Det svarer til nulpunkterne. Så kan vi afbilde dem. Sæt videoen på pause og se, om du kan løse opgaven. Fidusen er at faktorisere udtrykket, dette tredjegradspolynomium, da vi skal finde de x'er, der gør 5x³ + 5x² - 30x lig 0. Det gør vi ved at faktorisere den venstre side af udtrykket. Jeg ser altid først om, der er en fælles faktor i alle led. Det ser ud til at alle led kan deles med 5x. Lad os faktorisere 5x udenfor. Det bliver 5x gange Når vi tager 5x ud af 5x³, så har vi x². Når vi tager 5x ud af 5x², så har vi x tilbage, så +x. Når vi tager 5x ud af -30x, så har vi -6 alt dette lig 0. Vi har nu 5x gange denne andengradsligning. Hvordan faktoriserer vi den? Hvilke to tal har en sum på 1? Dette svarer til 1x, og et produkt på -6. +3 og -2 vil vist opfylde dette. Jeg kan omskrive det som 5x (x + 3) (x - 2). Hvis dette er nyt, så opfordrer jeg dig til at gennemgå faktorisering af andengradsligninger på Khan Academy. Alt dette er lig 0. Jeg skal finde de x-værdier, der gør hele dette lig 0, Det vil være den x-værdi, der gør 5x = 0. Hvis 5x er 0, så 0 gange noget er 0. Hvad gør 5x = 0? Hvis vi dividerer på begge sider med 5, så får vi x = 0. Hvis x er lig 0, så bliver dette 0, og så er det ligegyldigt, hvad disse er, 0 gange hvad som helst er 0. En anden mulig værdi af x, der gør det hele lig 0, er den der gør (x + 3) lig 0. Trække 3 fra på begge sider, og x = -3. Den sidste x-værdi er den, der gør (x - 2) lig 0. Lægger 2 til på begge sider og x = 2. Sådan. Vi har fundet tre x-værdier, der gør vores polynomium lig 0 og de svarer til nulpunkterne eller skæring med x-aksen. Vi har et ved x = 0. Vi har et ved x = -3. Vi har et ved x = 2. Vi er færdige, fordi hvis vi lavede den på Khan Academy, så skulle vi blot klikke disse tre steder. Grunden til denne færdighed er nyttig, er det er en god start til at tænke på, hvordan grafen ser ud. Grafen skal skære x-aksen i disse punkter. Grafen ser måske sådan her ud, eller sådan her ud. For at finde ud af, hvordan den ser ud, så skal vi nok bruge nogle flere værdier mellem disse punkter, så vi får en bedre fornemmelse af grafen.