Transformation af eksponentielle grafer (eksempel 2)

Vi får at vide, at grafen for y = 2ˣ er vist nedenfor. Dette er grafen. Det er en eksponentiel funktion. Hvilken af følgende er grafen for y = -1 ∙ 2ˣ⁺³ + 4? De giver os fire muligheder hernede. Før vi kigger for meget på mulighederne, Lad os lige tænke over, hvordan grafen ser ud efter denne transformation. Du har måske set, at dette er en transformation af den oprindelige graf. Hvordan transformerer vi den? Vi erstatter x med x + 3, så ganger vi med -1 og lægger 4 til. Lad os gøre det trin for trin. Dette er y er lig 2 opløftet til x. Nu vil jeg afbilde y er lig 2 opløftet til x + 3. Når du erstatter x med x + 3, så flytter du grafen 3 til venstre. Det er måske en smule ulogisk, men når vi ser på nogle punkter, så giver det forhåbentlig mere mening. For eksempel i den oprindelige graf, når x er lig 0, så er y lig 1. Hvordan får vi y er lig 1 i den nye graf? For at få y er lig 1, så skal eksponenten være lig 0, og det sker når x er lig -3. Når x er -3, så er y lig 1. Bemærk at vi flyttede 3 til venstre. På samme måde i den oprindelige graf når x er 2, så er y 4. Hvordan får vi y til at være 4 her? For at y skal være 4, så skal denne eksponent være lig 2. For at denne eksponent skal være 2, -- da 2 opløftet til 2 er 4 -- for at denne eksponent skal være 2, så skal x være lig -1. Når x er lig -1, så er y lig 4. Når x er lig -1, så er y er lig 4. Bemærk, vi er flyttet 3 til venstre. Dette er ikke den endelige graf, men den kommer til at se nogenlunde således ud, hvor y er lig 2 opløftet til x + 3 er flyttet 3 til venstre. Lad os nu gange dette udtryk med -1. Bemærk, hvordan vi langsomt bygger op til vores mål. Hvordan ser grafen for y er lig -1 gange 2 opløftet til x + 3 ser ud? Når vi ganger y er lig 2 opløftet til x + 3 med -1, så vil enhver y værdi blive det omvendte. Når x er -3 i stedet for at have +1, så får vi -1. Vi gangede med -1. Når x er lig -1 i stedet for at have 4, så får du -4. Vores graf bliver vendt over x-aksen. Den kommer til at se nogenlunde således ud. Det er ikke en perfekt tegning, men vi får en ide om dens udseende og kan se hvilken af disse grafer der passer. Til sidst skal vi lægge 4 til. Vi skal lave grafen for y er lig -1 gange 2 opløftet til x + 3 plus 4. Vi skal tage grafen, vi lige har lavet, og flytte den 4 op. I stedet for -1 lige her, så bliver det -1 + 4, som er 3. I stedet for -4, så bliver det -4 + 4, som er 0. I stedet for en vandret asymptote med ligningen y er lig 0, så bliver det en vandret asymptote med ligningen y er lig 4. Den kommer til at se -- lad mig lige tegne den ordentligt -- den vandrette asymptote er lig her, så grafen vil se nogenlunde sådan her ud. Vi har flyttet den røde graf 4 op. Vi har en vandret asymptote med ligningen y er lig 4. Lad os se hvilken svarmulighed der passer. Valg A har en vandret asymptote med ligningen y er lig 4, men grafen er ikke flyttet korrekt i den vandrette retning. Det ser egentlig ud til, den ikke er flyttet til venstre. Vi kan udelukke den. Den her nærmer sig asymptoten, når x stiger og det er ikke korrekt. Den skal nærme sig asymptoten, når x falder, så den kan vi også udelukke. Valg C ligner den graf vi lige har tegnet. En vandret asymptote ved y er lig 4. Når x er lig -3, så er y lig 3. Det er det vi fik. Når x er lig -1, så er y lig 0. Det ser rigtigt ud. Du kan selv tjekke nogle punkter. Vi kan lide valg C. D er helt sikkert forkert.