Introduktion til symmetri i funktioner

Du har temmelig sikkert hørt om begrebet lige og ulige tal, og i denne video skal vi se på lige og ulige funktioner. Som du kan se, eller vil se, så har de to begreber noget med hinanden at gøre, men der er nogle forskelle. Lad os først se på, hvad en lige funktion er. Man kan sige, at en lige funktion når den vendes over y-aksen ser uændret ud. Her er et klassisk eksempel på en lige funktion. Det er denne klassiske parabel, hvor toppunktet ligger på y-aksen. Det er en lige funktion. Dette kan være grafen for f(x) er lig x². Bemærk, hvis du vender den over y-aksen, så får du nøjagtig den samme graf. Men lad os snakke om det mere matematisk og vi har snakket lidt om det, da vi introducerede begrebet spejling. En funktion er lige, når den kan spejles i y-aksen. Altså f(x) er lig f(-x). Når du erstatter x'erne med -x, så vender du funktionen over y-aksen. Hvad med ulige funktioner? En ulige funktion er den samme, når den vendes over y-aksen OG x-aksen. Lad mig tegne et klassisk eksempel på en ulige funktion. Et klassisk eksempel er f(x) er lig x³. Der ser nogenlunde således ud. Hvis du først vender den over y-aksen, så vil du få noget der ligner dette. Jeg laver den som en punkteret linje. Hvis den kun vendes over y-aksen, så ser den således ud. Og hvis du vender den over x-aksen, så får du den samme funktion igen. Hvordan kan vi skrive det matematisk? Det betyder, at vores funktion ikke kun vendes over y-aksen, som er f(-x), men den vendes så over x-aksen, som svarer til det omvendte af det. Dette er to vendinger. Nogle af jer har måske bemærket et mønster eller tror I har set begyndelsen af et mønster, der forbinder ordene lige og ulige med de begreber vi kender fra matematik. Jeg har lige vist dig en lige funktion, hvor eksponenten er et lige tal og jeg har vist dig en ulige funktion, hvor eksponenten er et ulige tal. Jeg opfordrer dig til at prøve mange mange flere polynomier og tjekke deres eksponenter. Det viser sig, at hvis du har f(x) er lig med xⁿ, så er det en lige funktion, hvis n er lige og en ulige funktion, hvis n er ulige. Det er en sammenhæng. Nu tænker I så nok, men så må der være mange funktioner, der hverken er lige eller ulige. Og det er helt korrekt. For eksempel, hvis du har grafen x² + 2, så er den stadig lige, fordi hvis du vender den over y-aksen, så er den stadig symmetrisk. Den flyttes over i sig selv. Men hvis du har (x - 2)², som ser således ud, (x - 2) betyder, at den er flyttet to til højre. Det ser sådan her ud. Den er ikke længere lige. Bemærk, hvis du vender den over y-aksen, så får du ikke længere den samme funktion. Det kommer ikke kun an på eksponenten. Selve opbygningen af udtrykket er vigtig. Hvis du har noget enkelt som xⁿ, så er den lige eller ulige afhængig af hvad n er. Ligeledes hvis vi forskyder f(x) opad, så den bliver x³ + 3, så er den ikke længere ulige. Fordi, når du vender den en gang, så får du dette, men når du vender den igen, så får du noget der ligner dette. Du er ikke flyttet tilbage til den oprindelige funktion. Her er noget interessant, kan du forestille dig en funktion, der både er lige og ulige? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og tænke over det. Er der en funktion, hvor f(x) er lig f(-x) og f(x) er lig -f(-x)? Jeg kan give det et hint, nej jeg giver dig blot svaret. Forstil dig, at f(x) er lig konstanten 0. Det er blot en vandret linje ved y er lig 0. Hvis du vender den over y-aksen, så er den tilbage, hvor den var. Hvis du dernæst vender den over x-aksen, så er du stadig hvor du var før. Så det er både en lige og ulige funktion. Ganske spændende.