Tekstopgave med trigonometri: modellering af årlig temperatur

Den varmeste dag på året i genenmsnit i Santiago, Chile, er d. 7. januar, hvor den gennemsnitlige temperatur er 29 grader Celsius. Den koldeste dag på året har en gennemsnitstemperatur på 14 grader Celsius. Brug en trigonometrisk funktion til at modellere temperaturen i Santiago, Chile ved at bruge 365 dage for længden af et år. Husk, at d. 7. januar er sommer i Santiago. Hvor mange dage efter d. 7 . januar er den første forårsdag, hvor temperaturen når 20 grader Celcius? Lad os lave hver del for sig. Lad os først finde en trigonometrisk funktion, der modellerer temperaturen i Santiago, Chile. Vi skal have temperaturen som en funktion af dage, hvor dage er antallet af dage efter d. 7. januar. Når vi har en sådan en trigonometrisk funktion, så kan vi svare på den anden del. Hvor mange dage efter d. 7. januar er der til den første forårsdag, hvor temperaturen når 20 grader Celcius? Lad os forsøge at afbilde dette, og det burde bliver åbenlyst, hvorfor vi skal bruge en trigonometrisk funktion til at modellere dette. Disse årstidsvariationer er cykliske. De går op og ned. Hvis du ser på gennemsnitstemperaturen for en hvilken som helst by over et år, så ligner den en trigonometrisk funktion. Denne akse her er dagene. Lad os vælge d for dage, Det er antallet af dage efter 7. januar. Dette her er 7. januar på den vandrette akse og den lodrette akse er grader Celsius. Det højeste er 29 grader Celsius. Det højeste daglige gennemsnit. Hvis dette er 0, så er dette 14, som er det laveste daglige gennemsnit. Temperaturen svinger mellem disse to ektrema. Det højeste daglige gennemsnit har vi fået at vide er 7 januar og det er 29 grader Celsius. Det koldeste daglige gennemsnit på året er 14 grader Celsius. Det ser således ud. Vi afbilder her den gennemsnitlige højeste temperatur på en vilkårlig dag Grunden til at vi bruger en trigonometrisk funktion er fordi det er cyklisk. Hvis dette er 7. januar og du går 365 dage fremad, så er du tilbage på 7. januar. Hvis den daglige gennemsnitstemperatur er 29 grader Celsius på den dag, så er den gennemsnitlige temperatur 29 grader Celsius på denne dag. Vi bruger en trigonometrisk funktion, så vi skal være på minimumsværdien præcis midt mellem. Noget i denne retning. Funktionen kommer til at se nogenlunde således ud. Det ser da meget godt ud. -- vi har det højeste punkt her og nu forbinder jeg dem og sådan -- Jeg har tegnet en periode af vores trigonometriske funktion. Perioden er 365 dage. Hvis vi gå 365 dage frem, så er vi i det samme punkt i cyklus og det samme punkt på året. Vi har netop forsøgt at tegne modellen, som vi kalder T(d). Prøv at skrive en forskrift for T(d) og husk det skal være en trigonometrisk funktion. Jeg går ud fra du selv har prøvet og du tænker måske det ligner en cosinuskurve, men måske er det en sinuskurve, hvilken skal jeg bruge? Du kan faktisk bruge dem begge, men jeg vælger altid den mere enkle. Hvis dette var vinkler, enten i grader eller radianer, hvilken trigonometrisk funktion starter i et maksimumpunkt? cos(0) = 1. Cosinus starter i et maksimumpunkt. sin(0) = 0, så jeg vælger at bruge cosinus her. Temperaturen som en funktion af dage. Det bliver en amplitude gange cosinusfunktion og et argument til cosinusfunktion og så skal den nok forskydes. Lad os overveje, hvordan vi gør det? Hvor ligger neutrallinjen? Neutrallinjen ligger midt i mellem vores maksima og minima. Hvis vi skal visualisere den, så ser den således ud. Dette er vores neturallinje. Hvilken værdi har den? Hvad er gennemsnittet af 29 og 14? 29 + 14 er 43 divideret med 2 er 21,5 grader Celsius. Dette er neutrallinjen, så vi har forskudt vores funktion så meget opad. Hvis vi har en almindelig cosinusfunktion, så ligger neutrallinjen ved 0, men nu ligger den ved 21,5 grader Celsius. Jeg skriver +21,5 som svarer til hvor langt den er forskudt opad. Hvad med amplituden? Vores amplitude er, hvor meget vi afviger fra neutrallinjen. Her er vi 7,5 over neutrallinjen, så det er +7,5. Her er vi 7,5 under neutrallinjen, så det er -7,5. Vores amplitude er 7,5. Den største afstand vi er fra neutrallinjen er 7,5. Det er vores amplitude. Lad os nu se på argumentet til cosinusfunktionen. Det er en funktion af dage. Hvad skal det være? Når der er gået 365 dage, så skal hele dette argument være 2π. Når d er lige 365, så skal alt dette være 2π. Vi kan indsætte 2π/365 her. Du kan måske husker formler, men jeg glemmer dem altid, så jeg forsøger at udlede dem i stedet. Formlen er 2π divideret med perioden. Jeg husker det ved at sige efter en periode, som er 365 dage, så skal hele dette argument være 2π. Jeg skal en gang rundt om enhedscirklen. Hvis dette er 2π/365, så bliver argumentet 2π, når jeg ganger med 365. Sådan, vi har svaret på den første del af opgaven. Vi har lavet en model for den gennemsnitlige dagstemperatur i Santiago som en funktion af antallet af dage efter 7. januar. I den næste video, skal vi svare på det andet spørsmål. Jeg opfordrer dig til at se på det selv inden du ser den næste video og jeg vil give dig et hint. Læg mærke til at der står den første forårsdag.