Potenser og regnearternes hierarki

Ofte stillede spørgsmål om potenser og regnearternes hierarki.

Hvad er potenser?

Potenser er en kort skrivemåde for at gange med det samme tal flere gange. I stedet for at skrive

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

, så kan vi skrive

2^{4}

. Tallet

2

kaldes grundtallet og

4

kaldes eksponenten. Eksponenten fortæller, hvor mange gange grundtallet skal ganges med sig selv. Så,

2^{4}

svarer til

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

. Potenser er meget nyttige, når vi skal sammenligne store tal eller tal med mange faktorer.

Hvorfor har vi brug for potenser?

Matematikere, der ville gøre deres arbejde nemmere, opfandt potenser. Forstil dig, at du skal skrive og sige tallet

1.000 .000 .000 .000

flere gange på en dag. Det vil tage lang tid og fylde en hel del, så med potenser kan vi i stedet blot skrive

10^{12}

. Det betyder:

\underset{12 faktorer}{\underset{⏟}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}}

Kan du se, hvor meget nemmere og hurtigere det er?

Vi bruger potenser til at skrive og sammenligne meget store eller meget små tal, som afstande i universet, lysets hastighed, populationen i hele verden eller massen af et atom.

Vi bruger også potenser til at lave modeller og forudsige mønstre i vækst eller henfald, som renter på en bankkonto, væksten af en virus, levetiden af et batteri eller halveringstiden af et radioaktivt materiale.

Hvordan udregnees værdien af potenser?

Når vi skal bestemme værdien af en potens, så ganger vi grundtallet med sig selv det antal gange, der svarer til eksponenten. Her er et eksempel:

\begin{aligned} 3^{2} & = \underset{2 faktorer}{\underset{⏟}{3 \cdot 3}} \\ = 9 \end{aligned}

Potenser med brøker og decimaltal er ikke anderledes end andre potenser. Grundtallet er blot en brøk eller et decimaltal. Her er et eksempel:

\begin{aligned} {(\frac{5}{2})}^{3} & = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \\ = \frac{125}{8} \end{aligned}

Hvor kommer regnearternes hierarki fra?

Regnearternes hierarki, eller konventionen om i hvilken rækkefølge regneoperationer i aritmetik skal udføres, er hverken en universal eller natur lov, men en menneskeskabt opfindelse der har udviklet sig med tiden og på tværs af kulturer. Forskellige folkefærd havde deres egen måde at organisere og skrive matematiske operationer, alt efter deres behov, præferencer og traditioner.

I Indien brugte matematikerne et system med symboler og regler kaldet siddhanta, der blandt indeholdt begreber som nul, negative tal, brøker, algebra og trigonometri. Regnereglerne i dette system er meget lig det, vi bruger i dag, bortset fra at potenser havde højeste prioritet, efterfulgt at rødder, så multiplikation og division og til sidst addition og subtraktion.

Matematikere i Kina brugte et system af pinde eller symboler til at repræsentere tal og regneoperationer. En kugleramme, eller abacus, blev brugt til at foretage udregninger. Regnereglerne var stort set magen til dem vi bruger i dag, bortset fra at multiplikation og division havde samme prioritet som addition og subktraktion. I stedet blev parenteser brugt til at vise rækkefølgen i komplicerede udregninger.

I oldtidens Egypten brugte matematikerne et system med hieroglyffer og brøker til at repræsentere tal og regneoperationer. Udregningerne blev foretaget på papyrus eller skiferplader. De brugte ikke regneregler på samme måde som os, men brugte sammenhæng og tegnemåden til at vise, hvilken rækkefølge der skulle bruges. Ligeledes brugte de ofte stambrøker, hvor tælleren er 1, til at forenkle mere komplicerede brøker, og brugte en metode der kaldes falsk position til at løse ligninger.

Historien om regnearternes hieararki i USA kan spores tilbage til det 16. og 17. århundredde, da matematikere som Francois Viete, Rene Descartes og Gottfried Leibniz udviklede den moderne algebraiske notation og regler for beregning af potenser og rødder. De introducerede ligeldes brugen af parenteser som et grupperingssymbol. Der var dog ingen konvention om rækkefølgen af regneoperationer før omkring det 19. århundrede.

Den første direkte omtale af rækkefølgen af regneoperationer var i lærebogen fra 1917 af David Eugene Smith og William David Reeve "A First Course in Algebra" (Et første kusus i algebra). De brugte udtrykket regnearternes hierarki og erklærede, at operationer i parenteser skulle udføres før alle andre; dernæst skulle potenser, rødder og "vincula" udføres før multiplikation og division, som igen skulle udføres før addition og subtraktion. De brugte ordet "vinculum" og "vincula" om en vandret linje, der blev brugt som et grupperingssymbol:

\overset{―}{a + b}

Akronymet PEMDAS blev populært efter det blev brugt i bogen fra 1958 "Arithmetic, A modern Approach" af William Betz. Han brugte huskereglen "please excuse my dear Aunt Sally", til at hjælpe sine elever med at huske rækkefølgen. Siden hen er der kommet forskellige variationer af akronymet som GEMDAS, som står for grupperinger, eksponenter, multiplikation, division, addition og subtraktion.

Hvornår følger vi IKKE regnearternes hierarki?

Hele tiden, faktisk! Selvom regnearternes hierarki fortæller os rækkefølgen, der skal bruges til at udregne udtryk, så giver egenskaberne ved addition og multiplikation os faktisk en del fleksibilitet.

Den distributive lov siger vi kan gange hvert led i en parentes med en faktor i stedet for at lægge sammen (eller trække fra) i parentesen først.
Den kommutative lov for addition siger, vi kan lægge leddene sammen i vilkårlig rækkefølge, ikke nødvendigvis fra venstre mod højre. Du vil se, hvor nyttig dette er, når du begynder at arbejde med negative tal, da vi så vil lære at omskrive disse udtryk, så de indeholder addition i stedet for subtraktion.
Den kommutative lov for multiplikation siger, at faktorernes orden er ligegyldig. Vi behøver ikke gange sammen fra venstre mod højre. Når du lærer mere om reciprokke værdier, vil du kunne omskrive udtryk, hvor der indgår division til udtryk, hvor der indgår multiplikation.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.