Gennemgang af regnearternes hierarki

Regnearternes hierarki fortæller os, hvilken rækkefølge vi skal udregne ting i. Det sikrer, at alle personer får det samme svar, når de udregner noget. Vi kan huske på rækkefølgen ved at tænke på PEMDAS (Parenteser, Eksponenter Multiplikation/Division og Addition/Subtraktion).

Rækkefølgen af operationer er et sæt regler for, hvordan man udregner udtryk. De sørger for alle får det samme svar.

$G$ ‍ruppering: Disse skal altid laves først. For eksempel, så udregnes tallene inden i en parentes først,

2 \cdot (3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8

De mest almindelige typer af grupperingssymboler er parenteser og brøkstreger.

Der er flere grupperingssymboler, selvom du måske ikke har set dem alle endnu. Her er nogle af de mere almindelige.

Blandede tal er en gruppe i sig selv. Når vi skriver $3 \frac{4}{5}$ ‍, så mener vi $(3 + 4 : 5)$ ‍.
Brøkstreger grupperer tælleren og nævneren for sig efterfulgt af division. I udtrykket $25 : \frac{3 + 2}{4}$ ‍, lægges $3 + 2$ ‍ sammen først, så divideres $5$ ‍ med $4$ ‍, da brøkstregen grupperer den del af udtrykket. Til sidst divideres $25$ ‍ med $1, 25$ ‍.
Potenser er en gruppe i sig selv, hvor eksponenten svarer til en regneoperation. I udtrykket $6^{3 + 1}$ ‍lægges $3$ ‍ og $1$ ‍ sammen først, hvorefter $6^{4}$ ‍ udregnes.
Kvadratrødder og andre rødder grupperer alt under rodtegnet. Så $\sqrt{9 \cdot 3}$ ‍ svarer til $\sqrt{27}$ ‍, ikke til $3 \cdot 3$ ‍.
Numerisk værdi grupperer alt inden for de lodrette streger. Så $| 5 - 8 |$ ‍ svarer til $| - 3 |$ ‍.
Funktioner ligner multiplikation, da de har parenteser, men de er sig selv et angivet sæt af operationer. Så i udtrykket $f (8) + 13$ ‍ skal operationerne i forskriften for $f$ ‍ først færdiggøres, inden vi lægger til. Nogle navne på funktioner er $f$ ‍, $g$ ‍, $h$ ‍, $\sin$ ‍, $\cos$ ‍ og $\tan$ ‍.

$E$ ‍kponenter: Vi udregner eksponenter (potenser) inden multiplikation, division, addition, eller subtraktion. For eksempel

2 \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = 18

Du ved allerede, når vi trækker fra, så gør vi det omvendte af at lægge til. Ligeledes så gør division det omvendte af at gange. Inden for regnearternes hierarki sker disse omvendte operationer i samme trin.

Potenser er ikke på samme måde kommutative, og der skal to forskellige værktøjer til, for at gå den anden vej. Hvilket værktøj vi skal bruge afhænger af om det er grundtallet eller eksponenten vi vil have fat i.

Rødder, som kvadratroden, med symbolet $\sqrt{}$ ‍ kan bruges til at finde grundtallet af en potens.
Logaritmer kan bruges til at finde eksponenten i en potens.

Det er okay, hvis nogle af disse operationer er nye for dig. Når du begynder at bruge dem, så skal du blot huske, at de hører til i det samme trin som den operation, de gør det omvendte af.

$M$ ‍ultiplikation og $D$ ‍ivision: Vi multiplicerer og dividerer, inden vi lægger sammen og trækker fra. For eksempel

1 + 4 : 2 = 1 + 2 = 3

$A$ ‍ddition og $S$ ‍ubtraktion: Til sidst lægger vi sammen og trækker fra.

Man kan huske rækkefølgen som

G E (MD) (AS)

(udtales som et ord), hvor "G" står for gruppering, "E" står for eksponent og så videre. Du kender det måske også som PE(MD)(AS), hvor "P", står for parentes.

Vigtig bemærkning: når vi har mere end én af den samme type operation, arbejder vi fra venstre mod højre. Det er vigtigt, når subtraktion eller division står til venstre i et udtryk, som

4 - 2 + 3

eller

4 : 2 * 3

(se eksempel 3 nedenfor for at forstå, hvorfor dette er vigtigt).

Eksempel 1

Udregn $6 \cdot 4 + 2 \cdot 3$ ‍.

Der er ingen parenteser eller eksponenter, så vi springer direkte til gange og division.

$6 \cdot 4 + 2 \cdot 3$ ‍	‍
$= 6 \cdot 4 + 2 \cdot 3$ ‍	Gange $6$ ‍ og $4$ ‍.
$= 24 + 2 \cdot 3$ ‍	Gange $2$ ‍ og $3$ ‍.
$= 24 + 6$ ‍	Læg $24$ ‍ og $6$ ‍ sammen.
$= 30$ ‍	... og vi er færdige!

Bemærk: Vi tog os af alle multiplikationer inden addition. Hvis vi havde udregnet

24 + 2

inden

2 \cdot 3

, ville vi have fået et forkert svar.

Eksempel 2

Udregn $6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍.

$6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	‍
$= 6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	Læg $5 + 1 + 3$ ‍ sammen i parentesen.
$= 6^{2} - 2 (9)$ ‍	Udregn $6^{2}$ ‍, som er $6 \cdot 6 = 36$ ‍.
$= 36 - 2 (9)$ ‍	Gange $2$ ‍ og $9$ ‍.
$= 36 - 18$ ‍	Træk $18$ ‍ fra $36$ ‍.
$= 18$ ‍	... og vi er færdige!

Eksempel 3

Udregn $7 - 2 + 3$ ‍.

Den korrekte måde er at arbejde fra venstre mod højre.

Korrekt	Forkert
$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 5 + 3 \\ = & 8 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 7 - 5 \\ = & 2 \end{aligned}$ ‍

Husk: selv om "A" kommer før "S" i GE(MD)(AS), betyder det ikke, vi skal lægge sammen, inden vi trækker fra. Addition og subtraktion er på "samme niveau" i operationernes rækkefølge. Det samme gælder for multiplikation og division.

Vil du lære mere om regnearternes hierarki? Tjek denne video.

Øvelsesopgaver

Opgave 1

2 + 12 : 2 \cdot 3 =

Vil du løse flere opgaver som disse? Tjek denne grundlæggende opgave og disse lidt mere udfordrende opgaver: øvelse et og øvelse to.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.