Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 8

Modul 5: Buelængde (ud fra radianer)

Udfordring: Buelængde (radianer) 1

Løs tre udfordrende opgaver, hvor du skal udregne buelængde uden direkte at kende størrelsen af den centervinkel, der spænder over buen.

Opgave 1

I nedenstående figur er

\overset{―}{A C}

en diameter i cirkel

P

. Længden af

\overset{―}{P C}

25

enheder.

Hvad er den eksakte længde af $\overset{⌢}{B C A}$ ‍?

Vi skal bestemme længden af den bue på cirklen

P

, der begynder i punkt

B

, går igennem punkt

C

og ender i punkt

A

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i radianer og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirkel

P

har en radius på

25

enheder, da

\overset{―}{P C}

er en radius.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (25) \\ = 50 π \end{aligned}$ ‍

En vinkels buemål svarer til den centervinkel, der spænder over buen.

Der er

2 π

radianer i en cirkel, så målet af den store bue er lig med

2 π

minus målet af den lille bue.

$\overset{⌢}{B C A} = 2 π - \frac{3}{10} π$ ‍

Buen

\overset{⌢}{B C A}

måler

\frac{17}{10} π

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{radianer i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{50 π} & = \frac{(\frac{17}{10} π)}{2 π} \\ buelængde & = \frac{17}{10} π \cdot \frac{50 π}{2 π} \\ = \frac{85}{2} π \end{aligned}$ ‍

Længden af $\overset{⌢}{B C A}$ ‍ er $\frac{85}{2} π$ ‍.

Opgave 2

I nedenstående figur er længden af

\overset{―}{P A}

3

enheder.

Hvad er den eksakte længde af $\overset{⌢}{D A C}$ ‍ på cirkel $P$ ‍?

Vi skal bestemme længden af den bue på cirkel

P

, der begynder i punkt

D

, går igennem punkt

A

og ender i punkt

C

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i radianer og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirkel

P

har en radius på

3

enheder, da

\overset{―}{P A}

er en radius.

\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (3) \\ = 6 π \end{aligned}

En vinkels buemål svarer til den centervinkel, der spænder over buen.

Der er

2 π

radianer i en cirkel, så målet af den store bue er lig med

2 π

minus målet af den lille bue.

\overset{⌢}{D A C} = 2 π - \frac{π}{3}

Buen

\overset{⌢}{D A C}

måler

\frac{5}{3} π

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{radianer i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{6 π} & = \frac{(\frac{5}{3} π)}{2 π} \\ buelængde & = \frac{5}{3} π \cdot \frac{6 π}{2 π} \\ = 5 π \end{aligned}

Længden af $\overset{⌢}{D A C}$ ‍ er $5 π$ ‍.

Opgave 3

I nedenstående figur er

\overset{―}{A D}

\overset{―}{B E}

diametre i cirkel

P

. Længden af

\overset{―}{P B}

10

enheder.

Hvad er den eksakte længde af $\overset{⌢}{C D}$ ‍?

Vi skal bestemme længden af den bue på cirkel

P

, der begynder i punkt

C

og ender i punkt

D

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i radianer og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirkel

P

har en radius på

10

enheder, da

\overset{―}{P B}

er en radius.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (10) \\ = 20 π \end{aligned}$ ‍

En vinkels buemål svarer til den centervinkel, der spænder over buen.

Vinklerne

∠ B P C

∠ A P D

er kongruente, fordi de er topvinkler.

$\begin{aligned} ∠ A P E & = ∠ B P D \\ \frac{19}{36} π & = \frac{π}{3} + ∠ C P D \\ \frac{7}{36} π & = ∠ C P D \end{aligned}$ ‍

Buen

\overset{⌢}{C D}

måler

\frac{7}{36} π

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{radianer i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{20 π} & = \frac{(\frac{7}{36} π)}{2 π} \\ buelængde & = \frac{7}{36} π \cdot \frac{20 π}{2 π} \\ = \frac{35}{18} π \end{aligned}$ ‍

Længden af $\overset{⌢}{C D}$ ‍ er $\frac{35}{18} π$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.