Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 8

Modul 5: Buelængde (ud fra radianer)

Udfordring: Buelængde (radianer) 2

Løs to udfordrende opgaver, hvor du skal udregne buemålet af en vinkelbue med en givet længde.

Opgave 1

I figuren nedenfor er

\overset{―}{A C}

en diameter i cirkel

P

. Radius i cirklen

P

30

enheder. Buelængden af

\overset{⌢}{B C}

13 π

Hvad er vinklen af $\overset{⌢}{A B}$ ‍ i radianer?

Vi forsøger at finde buemålet af den bue, der begynder i punkt

A

og ender i punkt

B

Målet for en bue er lig med målet for den centervinkel, der spænder over den. Lad os derfor bestemme størrelsen af

∠ A P B

Vi skal kende cirklens omkreds for at kunne udregne buemålet af buen

\overset{⌢}{B C}

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (30) \\ = 60 π \end{aligned}$ ‍

Vi kender længden af

\overset{⌢}{B C}

og kan derfor opstille følgende forhold og dernæst isolere buemålet:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{radianer i en cirkel} \\ \frac{13 π}{60 π} & = \frac{buemål}{2 π} \\ buemål & = 2 π \cdot \frac{13 π}{60 π} \\ = \frac{13}{30} π \end{aligned}$ ‍

Buen

\overset{⌢}{B C}

måler

\frac{13}{30} π

, hvilket også er størrelsen af

∠ B P C = \frac{13}{30} π

\overset{―}{C A}

er en diameter, er

∠ A P B

∠ B P C

supplementære. De giver derfor

π

tilsammen.

$\begin{array}{r} \frac{13}{30} π + ∠ A P B = π \\ ∠ A P B = \frac{17}{30} π \end{array}$ ‍

Buen $\overset{⌢}{A B}$ ‍ måler $\frac{17}{30} π$ ‍.

Opgave 2

I figuren nedenfor er

\overset{―}{A D}

en diameter i cirkel

P

. Radius i cirklen

P

27

enheder. Buelængden af

\overset{⌢}{B C}

\frac{81}{10} π

Hvad er vinklen $\overset{⌢}{C D}$ ‍ i radianer?

Vi forsøger at finde buemålet af den bue, der begynder i punkt

C

og ender i punkt

D

Målet for en bue er lig med målet for den centervinkel, der spænder over den. Lad os derfor bestemme størrelsen af

∠ C P D

Vi skal kende cirklens omkreds for at kunne udregne buemålet af buen

\overset{⌢}{B C}

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (27) \\ = 54 π \end{aligned}$ ‍

Vi kender længden af

\overset{⌢}{B C}

og kan derfor opstille følgende forhold og dernæst isolere buemålet:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{radianer i en cirkel} \\ \frac{(\frac{81}{10} π)}{54 π} & = \frac{buemål}{2 π} \\ buemål & = \frac{81}{10} π \cdot \frac{2 π}{54 π} \\ = \frac{3}{10} π \end{aligned}$ ‍

Buen

\overset{⌢}{B C}

måler

\frac{3}{10} π

, hvilket også er størrelsen af

∠ B P C = \frac{3}{10} π

\overset{―}{A D}

er en diameter, er

∠ A P B

∠ B P C

∠ C P D

supplementære. De giver derfor

π

tilsammen.

$\begin{array}{r} \frac{π}{2} + \frac{3}{10} π + ∠ C P D = π \\ ∠ C P D = \frac{π}{5} \end{array}$ ‍

Buen $\overset{⌢}{C D}$ ‍ måler $\frac{π}{5}$ ‍ radianer.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.