Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 8

Modul 10: Egenskaber for tangenter

Udfordring: radius og tangent

Løs to udfordrende opgaver, der anvender tangenters egenskaber for at finde radius af en cirkel.

Opgave 1

\overset{\leftrightarrow}{A C}

er en tangent til cirkel

O

i punkt

C

Hvad er længden af $\overset{―}{O C}$ ‍?

enheder

Fordi

\overset{\leftrightarrow}{A C}

tangerer cirklen i punkt

C

, er den radius, der peger på

C

, vinkelret på tangenten. Det betyder, at

∠ A C O

90^{\circ}

Vi kan bruge den Pythagoras' læresætning til at isolere længden af

\overset{―}{O C}

Vi skal kende længden

\overset{―}{O A}

Vi ved, at

A B = 2

B O = O C

, fordi de begge er en radius i cirklen.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 2 + O C$ ‍

Nu, hvor vi har et udtryk for længden af

A O

, kan vi isolere

O C

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 4^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 2)^{2} \\ 16 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 4 O C + 4 \\ 12 & = 4 O C \\ 3 & = O C \end{aligned}$ ‍

Længden af $\overset{―}{O C}$ ‍ er $3$ ‍ enheder.

Opgave 2

\overset{\leftrightarrow}{A C}

er en tangent til cirkel

O

i punkt

C

Hvad er længden af $\overset{―}{O C}$ ‍?

enheder

Fordi

\overset{\leftrightarrow}{A C}

tangerer cirklen i punkt

C

, er den radius, der peger på

C

, vinkelret på tangenten. Det betyder, at

∠ A C O

90^{\circ}

Vi kan bruge den Pythagoras' læresætning til at isolere længden af

\overset{―}{O C}

Vi skal kende længden

\overset{―}{O A}

Vi ved, at

A B = 18

B O = O C

, fordi de begge er en radius i cirklen.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 18 + O C$ ‍

Nu, hvor vi har et udtryk for længden af

A O

, kan vi isolere

O C

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 30^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 18)^{2} \\ 900 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 36 O C + 324 \\ 576 & = 36 O C \\ 16 & = O C \end{aligned}$ ‍

Længden af $\overset{―}{O C}$ ‍ er $16$ ‍ enheder.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.