Bevis: Kongruente linjestykker der tangerer en cirkel

Jeg har her en cirkel med centrum i punkt O. Lad os vælge et vilkårligt punkt udenfor cirklen. Lad mig vælge det punkt her, punkt A. Hvis jeg har et vilkårligt punkt udenfor cirklen, så kan jeg tegne to forskellige tangentlinjer, der går gennem punkt A og som tangerer cirklen. Lad mig tegne dem. En af dem ser således ud. Lad mig lige starte her. Jeg laver en tangent til cirklen. Den kan se således ud Og den anden vil se således ud. Lad os sige, at det punkt hvor tangentlinjen rører cirklen, dette punkt lige her, er punkt B, og det punkt lige her er punkt C. Nu vil jeg bevise, at linjestykke AB er kongruent med linjestykke AC. Eller man kan sige, jeg vil bevise, --jeg bruger lige en ny farve-- jeg vil bevise, at dette linjestykke er kongruent med dette linjestykke. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve at gøre det, inden jeg begynder. Okay, lad os gøre det sammen. For at bevise det vil jeg lave to trekanter. Om lidt vil vi se, at de er retvinklede trekanter. Lad mig lige lave nogle linjer. Jeg tegner først en linje således. Og således og således. Hvad ved vi om disse trekanter? Jeg nævnte, at de er retvinklede. Hvordan ved jeg det? I en tidligere video har vi set, at en radius og en tangentlinje står vinkelret på hinanden i røringspunktet. Det har vi bevist. Det er radius og det er en tangentlinje, så de mødes i en ret vinkel. Radius. Tangentlinje. Mødes i en ret vinkel. Vi ved også, fordi OB og OC begge er radier, at de begge har længden af cirklens radius. Denne side her --jeg bruger nye farver-- den side er kongruent med den side. Du kan se, at hypotenusen i begge trekanter er den samme side, side OA, så den er naturligvis kongruent med sig selv. Den er lig sig selv. Derfor er trekant ABO og trekant ACO begge retvinklede trekanter med to ens sider. Da de har en hypotenuse og en katete, der er parvis lige store. Vi ved fra Hypotenuse-Katete kongruens, at hvis to retvinklede trekanter har lige store hypotenuser og en katete, der er ens, så er de to trekanter kongruente. Trekant ABO er kongruent med trekant ACO. I det bevis, hvor vi beviste det, der siger Pythagoras' sætning, hvis du kender to sider i en retvinklet trekant så kender du også den tredje. Den tredje side, side AB, har samme længde som side AC. Det udledes af at disse retvinklede trekanter har to sider, der er parvis lige store, derfor er den tredje side også lige stor. Direkte udledt af Pythagoras' sætning. Sådan. Vi har nu set, hvorfor AB er kongruent med AC. Eller man kan sige, at hvis jeg tager et punkt udenfor en cirkel, og konstruerer linjestykker som tangerer cirklen, så vil de to linjestykker være kongruente med hinanden.