If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 3

Modul 4: Sætninger omkring trekanters egenskaber
Matematik
Videregående geometri
Kongruens
Sætninger omkring trekanters egenskaber
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Egenskaber for kongruens

Google Classroom
Lær, hvornår du kan bruge den refleksive, symmetriske og ordnet egenskab i geometriske beviser. Lær også om sammenhængen mellem lighed og kongruens.
Et bevis kan skrives på mange måder og nogle er mere formelle end andre. I meget formelle beviser skal hvert udsagn, selv dem der syntes indlysende, begrundes. De skal begrundes, da disse påstande kun er sande i nogle men ikke alle sammenhænge. For eksempel, hvad der er sandt i en ligning behøver ikke nødvendigvis være sandt i en ulighed.
Lad os se på nogle af disse egenskaber. Vi bruger symbolet ★ til at repræsentere en ukendt sammenhæng.

Refleksiv egenskab

Når ★ har refleksiv egenskab, betyder det, at sammenhængen altid er sand mellem en ting og tingen selv. Så A★A betyder, at A er identisk med A.

Hvilke sammenhænge bruger denne egenskab?

SammenhængSymbolEksempel
Lighed=−538=−538
Kongruens≅∠MNP≅∠MNP
Ligedannet∼△MNP∼△MNP
Vi bruger den refleksive egenskab, når vi kigger på figurer, der deler sider eller vinkler.
To trekanter M N Q og P N Q deler den samme side N Q. Side N M er kongruent med side N P. Side M Q er kongruent med side P Q. Side N Q er kongruent med sig selv.
Hvis vi sammenligner △MNQ og △PNQ, kan vi sige, at NQ―≅NQ― på grund af den refleksive egenskab.

Hvilke sammenhænge bruger ikke denne egenskab?

Uligheder har ikke den refleksive egenskab. For eksempel, 3≮3.
At være en eller andens' mor er ikke en refleksiv sammenhæng. Jeg er ikke min egen mor.

Symmetrisk egenskab

Når ★ har en symmetrisk egenskab, betyder det, at sammenhængen er sand mellem to ting, uanset rækkefølgen. Hvis A★B, så B★A.

Hvilke sammenhænge bruger denne egenskab?

SammenhængSymbolEksempel
Lighed=Hvis 8=11−3, så er 11−3=8.
Kongruens≅Hvis VW―≅XY―, så er XY―≅VW―.
Ligedannet∼Hvis ABCD∼LMNP, så er LMNP∼ABCD.
Parallelle∥Hvis linje m∥ linje n, så er linje n∥ linje m.
Vinkelret⊥Hvis ST→⊥UV↔, så er UV↔⊥ST→.
De fleste mennesker vil definere venskab som havende en symmetrisk egenskab. Hvis Allan er venner med Kasper, så er Kasper venner med Allan.

Hvilke sammenhænge bruger ikke denne egenskab?

Uligheder har ikke symmetriske egenskaber. For eksempel, 10<100, men 100≮10.
At være en eller andens mor er heller ikke en symmetrisk sammenhæng. Hvis Karin er Santinos mor, så kan Santino ikke være Karins mor.

Ordnet egenskab

Når ★ har en ordnet egenskab, betyder det, at hvis en sammenhæng er sand mellem hver af to ting og en tredje ting. Så er sammenhængen også sand mellem de to første ting. Hvis A★B og B★C, så A★C.

Hvilke sammenhænge bruger denne egenskab?

SammenhængSymbolEksempel
Lighed=Hvis ∠F=∠G og ∠G=∠H, så er ∠F=∠H.
Kongruens≅Hvis △RST≅△WXY og △WXY≅△FGH, så er △RST≅△FGH.
Ligedannet∼Hvis cirkel A∼ cirkel B og cirkel B∼ cirkel D, så er cirkel A∼ cirkel D.
Parallell∥Hvis JK―∥LM― og LM―∥NO―, så er JK―∥NO―.

Hvilke sammenhænge bruger ikke denne egenskab?

At være vinkelret er ikke en ordnet egenskab.
3 linjer vises. Linje A C er vinkelret på linje A B. Linje A C er også vinkelret på linje C D.
I figuren, er AB―⊥AC― og AC―⊥CD―, men AB― er parallel med, ikke vinkelret på CD―.
Venskab har heller ikke en ordnet egenskab. Hvis Ezekiel er venner med Romina, og Romina er venner med Nash, ved vi ikke, om Ezekiel er venner med Nash.

Lighed og kongruens

Lighed og kongruens er tæt forbundne, men forskellige. Vi bruger lighed til alt, hvad vi kan udtrykke med tal, herunder målinger, skaleringsfaktorer og forholdstal.
StørrelseEksempel
Vinkel∠A+∠B=90°
Linjestykkers længdeMN=PQ=5
ArealAreal DEFG=81cm2
Forholdstal34=JKKL
Vi bruger kongruens og ligedannethed om geometriske figurer. Vi kan ikke udføre aritmetiske operationer som addition og multiplikation på geometriske figurer.
FigurEksempel
Vinkel∠A≅∠C
LinjestykkeMN―≅PQ―
Polygon△DEF∼△GHI
CirkelAlle cirkler er ligedannet med alle andre cirkler.
Der er tre meget nyttige sætninger, der forbinder lighed og kongruens.
I følgende figur kan vi se, at AB=CD=3,2.
Firkanten A B C D med siderne A B og C D mærket 3,2 og siderne B C og D A mærket 5.
I et meget formelt bevis skal vi bruge en separat linje til at hævde AB―≅CD―. I mere uformelle beviser betragtes ens mål og kongruente dele som værende det samme. Du bør altid tjekke, hvilken definition du skal bruge.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.