Beviser vedrørende ligesidede trekanter

Vi har her en trekant, hvor alle tre sider har den samme længde, alle siderne er altså kongruente. En trekant som denne kalder vi en ligesidet trekant. Vi skal nu bevise, at når alle tre sider er ens, så har alle tre vinkler samme vinkelmål. Lad os tænke over, hvordan vi kan gøre det? Først og fremmest ved vi, at AB er lig med AC. Lad os gå ud fra, at vi ikke ved, de også er lig med BC. Vi ved i en ligebenet trekant, hvor to af siderne er lige lange, så er de to grundvinkler også lige store. Lad os skrive det ned. Vi ved altså, at vinkel ABC er kongruent med vinkel ACB. Det er mit udsagn og her er min begrundelse. Begrundelsen er, at de er grundvinkler i en ligebenet trekant. Da vi ved, at denne side er lig med denne side. -- trekanten er ligesidet, alle siderne er lige lange -- men det at disse to sider er lige lange betyder at grundvinklerne er lige store. Vi skriver, to sider er ens, medfører grundvinkler er ens. Det er fra den forrige video om ligebenede trekanter. Vi kan også sige beskrive trekanten på en anden måde. Vi kan sige, at disse to vinkler [ABC og CAB] er grundvinklerne. I så fald er disse to sider [BC og AC] er kongruente med hinanden. Lad os skrive det ned, vinkel CAB er kongruent med vinkel ABC. Med samme begrundelse. Vi bruger blot andre sider og andre grundvinkler. Dette [side AB] er nu grundlinjen. Vi har lagt en ligebenet trekant på siden, men samme begrundelse. Hvad har vi indtil videre gjort? Disse to sider [AB og AC] er lige store, så de to grundvinkler er lige store. Disse to sider [BC og AC] er lige store, så disse to grundvinkler er lige store. Hvis vinkel ABC er kongruent med vinkel ACB og kongruent med vinkel CAB, så er alle disse vinkler kongruente med hinanden. Vi har altså, vinkel ABC er kongruent med vinkel ACB som er kongruent med vinkel CAB, altså alle tre vinkler. Når du har en ligesidet trekant, så har du også en ligevinklet trekant. Alle vinklerne har derfor samme størrelse. Du ved, hvad vinkelmålet er. Hvis du har tre ting der er lige store, lad os kalde dem x, x og x og summen af dem er 180, så er x + x + x lig med 180, eller 3x er lig med 180. Division på begge sider med 3, og x er lig med 60 grader. I en ligesidet trekant er alle vinkler ens og de er alle 60 grader. Lad os nu se på den omvendte situation. Vi har en trekant, hvor alle vinklerne er lige store. Vi har punkterne X, Y og Z. Vi ved, alle vinklerne er lige store. Denne vinkel er kongruent med denne vinkel som er kongruent med denne vinkel. I den forrige video om ligebenede trekanter så vi, når de to grundvinkler er ens, vil de to ben også være ens. Vi ved derfor, YX er kongruent med YZ, fordi grundvinklerne er kongruente. Vi ved også, at YZ er kongruent med XZ, med samme begrundelse. I dette udsagn er det andre grundvinkler. Igen så er det en ligebenet trekant, der ligger ned. Dette er topvinklen. Disse er de to grundvinkler. Dette er nu grundlinjen. Det ved vi, fordi disse to grundvinkler er kongruente. Altså samme begrundelse. I det første udsagn er grundvinklerne YXZ og YZX, I det andet udsagn er grundvinklerne XYZ og YXZ. Det skriver jeg lige ned med lilla. I det første udsagn er vinkel YXZ kongruent med vinkel YZX. Det er for det første udsagn. De er grundvinkler. Ud fra beviset i den forrige video er disse sider kongruente. I andet udsagn har vi disse grundvinkler, -- det viser jeg med grønt -- Vinkel XYZ er kongruent med vinkel YXZ og det medfører at disse to sider er kongruente. Nu har vi bevist det. Vi sagde, at siden YX er kongruent med YZ og vi sagde at siden YZ er kongruent med XZ. Derfor er alle tre sider kongruente med hinanden. Hvis alle vinkler er lige store, så måler de 60 grader, så ved du, at siderne også er lige store. De er kongruente.