Hovedindhold
Emne: (Videregående geometri > Emne 4
Modul 7: Løsning af modelleringsopgaver med ligedannede & kongruente trekanterLigedannethed
Her gennemgås ofte stillede spørgsmål om ligedannethed
Hvad er sammenhængen mellem ligedannethed og geometriske transformationer?
Ligedannethed handler om to figurer, som har de samme proportioner. To figurer kan være ligedannede, selv når den ene er større eller mindre end den anden, så længe de bibeholder de samme proportioner.
Når det drejer sig om transformationer, kan vi bruge fire forskellige typer til at skabe ligedannede figurer:
- Skaleringer: Forstørrelse eller formindskelse af en figur
- Parallelforskydning: flytte en figur fra et sted til et andet
- Drejninger: drejning af en figur omkring et punkt
- Spejlinger: vende en figur over en linje
Vi kan bruge ethvert forløb af disse transformationer til at danne figurer, der er ligedannede med hinanden.
Prøv det selv i vores øvelse Ligedannethed og transformationer.
Hvordan kan vi afgøre, om to trekanter er ligedannede?
Ligedannede trekanter har samme form, men de har måske ikke samme størrelse. For at afgøre, om to trekanter er ligedannede kan vi kigge efter tre forskellige betingelser:
- Sidelængder (SSS): Hvis forholdet mellem tilsvarende sidelængder er ens, er trekanterne ligedannede. For eksempel, hvis
- Vinklerne (VVV): Hvis tilsvarende vinkler har samme mål, er trekanterne ligedannede. Hvis for eksempel
- Side-Vinkel-Side (SVS): Hvis to sider i en trekant er proportionale med de to tilsvarende sider i en anden trekant, og den mellemliggende vinkel har samme vinkelmål, så er trekanterne ligedannede. For eksempel, hvis
Prøv det selv med vores øvelse Afgør om trekanter er ligedannede: vinkler og vores øvelse Afgør om trekanter er ligedannede: SSS.
Hvordan virker egen-ligedannethed i retvinklede trekanter?
Når vi tegner højden til hypotenusen i en retvinklet trekant, dannes to mindre retvinklede trekanter. Interessant nok er disse to mindre retvinklede trekanter begge ligedannede med den oprindelige trekant og med hinanden.
Dette sker, fordi højden deler hypotenusen i to linjestykker, men også danner to nye rette vinkler. De to nye rette vinkler giver os, sammen med de to linjestykker, to retvinklede trekanter, der har de samme proportioner som den oprindelige trekant.
Denne egen-ligedannethed er nyttig i geometri, da det giver os mulighed for at bruge egenskaber fra ligedannede trekanter til at løse opgaver. For eksempel, hvis vi kender længden af hypotenusen og en katete fra den oprindelige trekant, vi kan bruge denne egen-ligedannethed til at finde længden af de to linjestykker, der dannes, når højden laves.
Prøv det selv med vores øvelse Brug af ligedannethed i trekanter.
Hvad kan vi bevise med trekanters ligedannethed?
Vi kan bevise Pythagoras' læresætning ved hjælp af trekanters ligedannethed. Du starter med en retvinklet trekant med siderne
Fordi trekanterne er ligedannede, kan vi opskrive forholdene mellem tilsvarende sidelængder, som i sidste ende reduceres til
Vi kan bruge trekanters ligedannethed til at vise, at de tre medianer i en trekant skærer hinanden i et enkelt punkt. Vi kan bruge trekanters ligedannethed til at bevise, at de tre højder i en trekant også skærer hinanden i et enkelt punkt.
En anden interessant egenskab vi kan vise med trekanters ligedannethed er, at når to korder (linje segmenter med begge endepunkter på en cirkel) krydser hinanden, er produktet af de to linjestykker i den ene korde lig med produktet af de to segmenter i den anden korde.
Der er mange flere egenskaber, vi kan bevise ved hjælp af trekanters ligedannethed, og disse er blot et par eksempler.
Prøv selv med vores øvelse Beviser for sætninger med ligedannethed.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.