Tekstopgave med geometri: Jordens og Månens radier

Dimensionerne af Jorden og Månen har et forhold til hinanden, der danner en gylden trekant. Det gyldne forhold, der repræsenteres af φ er det eneste tal, som har den matematiske egenskab at kvadratet på det er én mere sig selv. Der er en hel video om φ på Khan Academy og jeg foreslår du ser den. Den vil give dig kuldegysninger. Og hvis du ser den og laver denne opgave, får du endnu flere kuldegysninger. Men lad os forsøge at tackle denne opgave. De siger, at φ + 1 = φ², som i sig selv er ret sejt. Her skriver de, hvad φ er. φ er omkring 1,61803... og fortsætter uendeligt. φ + 1 er 1,61803², som er 2,61803... Det er blot en anden måde at skrive det samme på. De siger, når vi bruger Pythagoras' læresætning med denne ligning dannes en retvinklet trekant med sidelængderne φ √φ og 1. Hvad siger de? Den ligner lidt Pythagoras' læresætning. Dette kan være a² og dette b² og dette c². Man kan sige, at det svarer til siderne i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen c er lig φ. Den korte side, b er lig 1, da √1 er lig 1 og den lange side, der ikke er hypotenusen, er lig √φ. Det er blot det, der står i denne sætning. Som vist nedenfor -- og det er nærmest ufatteligt -- Som vist nedenfor er Jordens og Månens radier proportionelle med φ. Det er da spændende. Lad mig bruge en farve du kan se. Hvis du tager Jordens radius, denne radius -- jeg har problemer med at skifte farve -- Hvis du tager Jordens radius og lægger den til Månens radius, så er forholdet mellem summen af de to radier og Jordens radius lig √φ. Det får dig vist til at tænke lidt på Universet. Du bør sætte videoen på pause og tænke videre. Hvem gider lave opgaven? Nåh, vi bør nok svare på spørgsmålet, men det er lidt hårrejsende, da det ikke er det eneste sted det dukker op. Det dukker op mange steder i naturen og i matematikken. Det er et fascinerende tal af alle mulige årsager og dette er blot lidt hårrejsende. Men vi har en opgave at løse. Hvis Jordens radius er 6371 kilometer, hvor stor er så Månens radius? Lad os tegne trekanten igen, men have siderne i kilometer. Herover er siderne udtryk med Jordens radius. Dette er 1 af Jordens radier. Når det er 1 Jord-radius, så er hele side, den samlede radius af Månen og Jorden lig √φ Jord-radier. Hypotenusen af denne trekant er φ Jord-radier. Dette er udtrykt med Jord-radier. Lad mig tegne trekanten igen med længderne i kilometer. Jeg forsøger at lave en lignende trekant med længderne i kilometer. Dette er en skitse af Jorden. Jeg tegner kun noget af Jorden, da jeg tror du forstår, hvad jeg mener. Dette er Månen. Det tror jeg, du kan se. De fortalte os, at Jordens radius er 6371 km. De sagde også, at denne side i den retvinklet trekant er √φ Jord-radier. Når vi skal skrive det i kilometer, så bliver det 6371 gange √φ km. Det svarer til √φ Jord-radier. Det er hele denne længde. Nu skal vi finde ud af, hvad Månens radius er? Vi skal finde denne afstand. Lad os kalde den r for Månens radius. Hvordan finder vi r? Vi kender også længden af dette linjestykke, som jeg laver med grønt. Det er også Jordens radius. Jorden er næsten en kugle. Længden af det linjestykke er også 6371 km. Nu er opgaven ved at være temmelig lige til. Den samlede radius kan skrives på to forskellige måder. Vi kan skrive den som radius af Månen plus radius af Jorden, som er 6371 km. Vi antager nu, at alt er i km. Og vi kan skrive den samlede radius som 6371 gange √φ. r + 6371 = 6371 ⋅√φ Den samlede radius er √φ gange længden af Jordens radius. Her er den udtrykt i Jord-radier og her er den udtrykt i km. Dette er Jordens radius. Du ganger den med √φ og du får den samlede radius. Nu skal vi blot finde r. Vi kan trække 6317 fra på bege sider. Vi får r = 6371 ⋅√φ - 6371. Vi kan sætte 6371 udenfor en parentes. Og vi får r = 6371 (√φ - 1). Og vi er færdige. Dette er da ret sejt og spændende.