Cavalieris princip i 3D

Vi har her to cylindre. Lad os se, vi ved de har præcist det samme rumfang og det giver mening, da det ser ud til, at deres grundflade har samme areal og de har samme højde. Nu begynder jeg at skære i den venstre cylinder og flytte rundt på ting. Hvis jeg blot skærer den i to og tager den nederste cylinder, den nederste halvdel og flytter den lidt, har jeg så ændret dens rumfang? Jeg har tydeligvis ikke ændret dens rumfang. Jeg har stadig det samme rumfang. Det samlet rumfang af disse halve cylindre er lig den oprindelige cylinders. Hvis jeg skærer mere i den? Lad mig skære den i tre. Jeg har stadig ikke ændret det oprindelige rumfang. Den har det samme rumfang som før, jeg har blot delt den i tredjedele. Når jeg flytter lidt rundt på dem, så ændrer jeg ikke rumfanget. Det kan jeg fortsætte med. Jeg kan skære den i en masse skiver. Bemærk at den stadig har det samme oprindelige rumfang. Jeg har lige skåret den vandret i en masse skiver og nu flytter jeg rundt på skiverne, men det ændrer ikke rumfanget. Det kan jeg gøre en masse gange. De ligner en slags spillemønter eller jetoner. Jeg har taget min oprindelige cylinder og skåret den vandret og lavet en masse af disse skiver, men tydeligvis er det samlet rumfang det samme. Jeg kan flytte rundt på dem, men den har det sammme rumfang. Dette giver anledning til et spændende spørgsmål samt princippet, Cavalieris princip. Som siger, hvis jeg har to figurer med samme højde og hvor i hvert punkt langs denne højde arealet af tværsnittet er det samme, så har to figurer det samme rumfang. Hvad har det jeg lige sagde, at gøre med dette her? Begge disse figurer har tydeligvis samme højde og i hvert punkt, hvor jeg lavede et snit, det samme punkt i den oprindelige cylinder vil have det samme tværsnit areal, fordi det har samme areal som grundfladen af denne cylinder, så Cavalieris princip gælder. Men Cavalieris princip er ikke eksotisk. Det er udledt af sund fornuft. Jeg kan lave endnu flere snit og du kan se at jeg nu har en mere glat skæv cylinder, men den har det samme rumfang som vores oprindelige cylinder. Når jeg flytter rundt på den som her, så ændrer det ikke rumfanget. Dette gælder ikke blot for cylindere. Jeg kan lave det fuldstændigt samme argument med en prisme. De har igen det samme rumfang og jeg kan skære den venstre halv over og flytte rundt på den, og det ændrer ikke rumfanget. Jeg kan skære den mere og flytte dem rundt, men det ændrer stadig ikke rumfanget. Cavalieris princip synes at give mening rent logisk. Hvis jeg har to figurer med samme højde og i hvert punkt langs højden er arealet af tværsnittet det samme, så har figurerne det samme rumfang. Disse figurer har også det samme rumfang. Jeg kan gøre det samme med spændende ting, som en pyramide. Disse to pyramider har samme rumfang. Hvis jeg skærer den venstre pyramide halvt over og flytter bunden således, så ændrer det ikke dens rumfang. Jeg kan fortsætte og lave flere snit. Disse figurer har samme højde og i hvert punkt langs højden er arealet af tværsnittet det samme, så de har det samme rumfang. Det giver mening, rent logisk. Det gælder også i dette tilfælde, hvor du har en glat pyramide, der er skæv. Uanset, hvor skæv du laver den, så har den samme rumfang som den oprindelige pyramide, da de har samme højde og arealet af tværsnittet i hvert punkt langs højden er det samme. Vi kan faktisk gøre dette med enhver figur. Disse kugler har samme rumfang. Jeg kan skære den venstre halvt over og flytte den således. Tydeligvis ændrer jeg ikke rumfanget. Jeg kan lave flere snit, således. Den har tydeligvis stadig det samme rumfang. Dette opfylder Cavalieris princip, da de har samme højde og tværsnittet i hvert punkt langs højden er det samme. Selv når jeg skærer i den ene og flytter rundt på den så det ligner et helt andet objekt, så har de den samme højde og tværsnittet i hvert punkt har samme areal, så vi har det samme rumfang. Det er en nyttig ting at vide. Ikke blot at kende dette princip, men forhåbentlig har denne video hjulpet dig med at se, hvorfor det giver mening, rent logisk.