If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 5

Modul 4: Forhold mellem sider i retvinklede trekanter
Matematik
Videregående geometri
Trigonometri i retvinklede trekanter
Forhold mellem sider i retvinklede trekanter
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Sideforhold i retvinklede trekanter som en funktion af vinklerne

Google Classroom
 Når retvinklede trekanter er ligedannede afhænger forholdet mellem trekanterne af vinklernes størrelse.
I emnet kongruens lærte vi, når to vinkler og den mellemliggende side er kongruente (Vinkel-Side-Vinkel kongruens), så er alle tilsvarende sider og vinkler kongruente.
To retvinklede trekanter ved siden af hinanden. De har 1 spids vinkel der er kongruent. De har en side der er kongruent.
Men hvorfor? Selv når vi bruger Pythagoras' læresætning, skal vi kende længden af to sider for at kunne udregne længden af den tredje. I denne artikel skal vi undersøge, hvordan vinkelmål og sidelængder afhænger af hinanden i retvinklede trekanter.
Det er en god ide at gennemgå denne artikel med en ven eller to. Formålet med denne artikel er at diskutere mønstre, ikke at lave en masse udregninger. Prøv at fordele informationen i artiklen og snak om, hvad I ser!

Lad os finde mønstre

Først skal vi indsamle viden fra flere trekanter.
Hvad er sammenhængen mellem de fire trekanter?
Fire retvinklede trekanter inde i hinanden. De deler punkt A og vinkel A. Den mindste trekant er mærket A B C. Den næstmindste er mærket A D E. Den næste er mærket A F G. Den største er mærket A H I. Alle trekanter har hypotenusen langs i det samme linjestykke A H. Alle trekanter har en side langs det samme linje stykke A I. Den tredje side i trekanter er parallele med hinanden. I trekant A B C er siden A B mærket 10 og siden A C er mærket 8 og siden B C er mærket 6. Siden D E er mærket 9. Siden F G er mærket 12. Siden H I er mærket 15.
Ved at bruge
kan vi se, at trekanterne er
.

Tabel med størrelser
Her er de samme trekanter igen.
Fire retvinklede trekanter inde i hinanden. De deler punkt A og vinkel A. Den mindste trekant er mærket A B C. Den næstmindste er mærket A D E. Den næste er mærket A F G. Den største er mærket A H I. Alle trekanter har hypotenusen langs i det samme linjestykke A H. Alle trekanter har en side langs det samme linje stykke A I. Den tredje side i trekanter er parallele med hinanden. I trekant A B C er siden A B mærket 10 og siden A C er mærket 8 og siden B C er mærket 6. Siden D E er mærket 9. Siden F G er mærket 12. Siden H I er mærket 15.
Udfyld de tomme felter i tabellen i forhold til ∠A.
△ABC△ADE△AFG△AHI
Længde af modstående side691215
Længde af hosliggende side8
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
16
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
Længde af hypotenuse1015
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
25
Vinkel A37°37°37°37°
Ret vinkel90°90°90°90°
Sidste vinkel
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
°
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
°
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
°
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
°

Nu kan vi begynde at finde nogle mønstre.
Tabel med forhold
Udfyld de tomme felter i tabellen nedenfor.
Afrund til nærmeste hundrededele.
△ABC△ADE△AFG△AHI
hosliggende sidehypotenuse
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
modstående sidehypotenuse
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
modstående sidehosliggende side
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Hvad bemærker du?

Bevis for at dette mønster gælder for andre vinkler

Bevis
Færdiggør beviset for ACBC=FDED.
En retvinklet trekant mærket A B C. Vinkel A er ret. Vinkel B er mærket med en dobbeltbue.
En retvinklet trekant mærket D E F. Vinkel F er ret. Vinkel E er mærket med en dobbeltbue.
UdsagnBegrundelse
1∠A≅∠FAlle rette vinkler er kongruente
2∠B≅∠EGivet
3△ABC∼△
ligedannethed
4ACFD=BCEDTilsvarende sider i ligedannede trekanter har det samme forhold
5ACBC=FDEDMultiplikation på begge sider med
.

Konklusion
Hvad har vi bevist?
Vælg 1 svar:
For hvilke trekanter gælder beviset?
Vælg 1 svar:

Hvad kan vi konkludere?

Hvis to retvinklede trekanter har en kongruent spids vinkel, så kan vi bruge vinkel-vinkel ligedannethed til at vise, at de er ligedannede. Forholdene mellem de tilsvarende sider i hver trekant er ens. Derfor afhænger forholdene mellem sider i en retvinklet trekant af størrelsen af én spids vinkel.

Hvorfor er dette nyttigt?

Hidtil har vi kunne bruge Pythagoras' læresætning til at bestemme længden af en ukendt side i en retvinklet trekant, hvis vi kender længden af de to andre sider. Nu kender vi sammenhængen mellem vinklerne og siderne i en retvinklet trekant. Derfor kan vi bestemme to sidelængder, hvis vi kender længden af én side samt størrelsen af én spids vinkel. Vi kan ligeledes bestemme størrelsen af en spids vinkel i en retvinklet trekant ud fra længden af to af dens sider.
Lær mere 1.1
Når vinkelmålet for en spids vinkel i en retvinklet trekant er givet, så kender vi forholdene mellem trekantens sider.
Her er de tilnærmede forhold for vinklerne 25°, 35° og 45°.
Vinkel25°35°45°
hosliggende sidehypotenuse0,910,820,71
modstående sidehypotenuse0,420,570,71
modstående sidehosliggende side0,470,71
Brug tabellen til at bestemme et tilnærmet vinkelmål for ∠J i trekanten nedenfor.
En retvinklet trekant mærket J K L. Vinkel K er ret. Vinkel J er mærket med en dobbeltbue. Siden J K er mærket 7,4 og siden J L er mærket 9.
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.