Introduktion til keglesnit

Lad os prøve at lære en ting eller to om keglesnit. Først, hvad er de og hvorfor de hedder keglesnit? Du genkender nok nogle af dem og lad mig lige skrive dem. Det er cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen. Du ved allerede, hvad disse er. Da jeg først lærte om keglesnit, viste jeg, hvad en cirkel var, jeg viste, hvad en parabel var. Jeg viste også lidt om ellipser og hyperbler. Men hvorfor er de dog kaldet keglesnit? For at sige det enkelt, fordi de er tværsnit af en kegle, der skæres af et plan. Jeg viser det om lidt. Men inden jeg gør det, så tegner jeg dem hver for sig. Jeg skifter lige farve. Cirkel - det ved vi alle, hvad er. Jeg prøver lige at vælge en tykkere streg En cirkel ser nogenlunde således ud. Det er alle punkter med samme afstand til et centrum og den afstand svarer til radius. Hvis dette er r og dette er centrum så er cirklen alle de punkter, der ligger præcis r væk fra centrum. Vi lærte tidligt i vores skolegang, at en cirkel er rund. Ellipse ligner en sammentrykket cirkel. Den kan se nogenlunde således ud. Lad mig lave en ellipse i en anden farve. Dette kan være en ellipse eller det her. Det er svær at lave med dette værktøj, men den kan også vendes eller drejes. Dette er en ellipse. Cirkler er faktisk særlige ellipser. Det er en ellipse, der ikke er strakt mere i den ene retning end den anden. Den har perfekt symmetri. Parabel. Den kender du, hvis du har været i gennem Algebra 2 og det har du nok, hvis du er gået i gang med keglesnit. Men en parabel ligner et U og du kender den klassiske parabel. Jeg vil ikke skrive ligningen. Ah nu gør jeg det alligevel, da du jo nok allerede kender den. y = x². Du kan flytte den og du kan også have en parabel, der gør sådan. Det vil være x = y². Du kan dreje dem, men jeg tror du kender den almindelige facon af en parabel. Vi skal snakke mere om, hvordan du afbilder den eller hvilke spændende punkter, der er på en parabel. Den sidste, som du måske har set før, er hyperblen. Den ligner nærmest to parabler, men ikke helt da kurverne er mindre U-agtige, men er lidt mere åbne. Men lad mig forklare, hvad jeg mener med det. En hyperbel ser typisk således ud. Hvis dette er akserne, så kan jeg tegne nogle asymptoter, der går gennem origo. Disse er asymptoter, ikke hyperblerne. Men en hyperbel kan se nogenlunde således ud. Den vil være ret tæt på asymptoten. Den kommer tættere og tættere på de blå linjer. Det samme sker her over. Grafen er her og så dukker den op derover. Grafen i magenta kan være en hyperbel Den er ikke helt god. En anden hyperbel kan være en lodret hyperbel. Det er ikke det rigtige ord, men den ser nogenlunde således ud. Den ligger under asymptoten og over asymptoten. Den blå er en hyperbel og den magenta er en anden hyperbel. Det er forskellige grafer. Der er en ting, jeg er sikker på, du gerne vil spørge om. Hvorfor kaldes de keglesnit? Hvorfor kaldes de ikke perbler eller cirkeltyper eller? Hvad er sammenhængen mellem dem? Det er ret tydeligt, at der er en sammenhæng mellem cirkler og ellipser. En ellipse er en mast cirkel. Og man kan måske sige, at parabler og hyperbler hører sammen. De har begge "bel" i deres navn og de ligner lidt et U. Selvom en hyperbel har to af disse åbninger i forskellige retning. De ser lidt ens ud. Hvad er sammenhængen mellem dem alle? Det er her ordet kegle dukker op. Lad mig prøve at tegne en kegle i tre dimensioner. Dette er dens top. Jeg kunne have brugt en ellipse for toppen. Sådan. Den har faktisk ikke en top. Den bliver ved uendeligt i den retning. Jeg har skåret i den, så du kan se, det er en kegle. Dette vil være dens bund. Lad os tage et plan og lave forskellige tværsnit og se, om vi kan lave de forskellige figurer, vi lige har snakket om. Lad os sige, at dette er den 3-dimensionelle kegles akse. Lad mig tegne et plan i to dimensioner, der er vinkelret på denne akse. Planet vil se således ud. Denne linje her er tættest på dig og så er der en anden linje her bagved. Det er godt nok. Dette plan fortsætter uendeligt i alle retninger. Når dette plan er vinkelret på denne akse, så vil tværsnittet mellem planet og keglen vil se således ud. Vi ser det fra en vinkel, men hvis du kigger lige ned, oppe fra og ned, Hvis jeg kunne dreje det, så du ser lige ned på planet, så er tværsnittet en cirkel. Lad os vippe planet en lille smule nedad. Lad mig se, om jeg kan tegne det ordentligt. Det går således og den anden side går her og jeg forbinder dem. Dette er planet. Nu er skæringen ikke længere vinkelret på aksen af den 3-dimensionelle kegle. I andre videoer vil vi bevise, at det jeg siger er korrekt. Jeg vil i hvert fald gennemgå ligninger. Tværsnittet vil se nogenlunde således ud. Det vil se således ud. Hvis du er lige over planet og kigger lige ned, så vil du se den figur, som jeg tegner med lilla, nemlig en ellipse. Du kan se, det er en ellipse. Og hvis jeg vipper planet den anden vej, så vil ellipsen være mast den anden vej. Nu kan du se, hvorfor begge disse kaldes keglesnit. Hvis vi bliver ved med at vippe planet, så sker der noget meget spændende. Dette er en god øvelse i at tegne i tre dimensioner. Det vil se nogenlunde således ud. Jeg går gennem dette punkt. Dette er mit 2D plan. Jeg tegner det, så det kun skærer den nederste kegle og er parallelt med den øverste kegle. Planet vil skære keglen i dette punkt, som jeg vipper planet over. Tværsnittet vil nu se således ud. Det vil fortsætte nedad. Hvis jeg tegner det, når du er lige over planet og vil du få en parabel. Spændende. Hvis du starter du med en cirkel og vipper planet, så får du en ellipse og du får en mere og mere udtalt ellipse. I et punkt åbnes ellipsen, når planet bliver parallelt med den øverste kegles side Jeg gør det temmelig upræcist, men jeg tror du kan se det. Ellipsen åbnes og bliver en parabel. Der er en sammenhæng. En parabel er, hvad der sker, når en ellipse åbnes i den ene ende. Hvis du fortsætter med at vippe planet, -- jeg bruger en anden farve -- så det skærer begge kegler. Lad mig se, om jeg kan tegne det. Det er godt nok. Det er svært at se. Vi ser på skæring mellem det grønne plan og keglen. Jeg burde tegne det hele igen. Forhåbentlig bliver du ikke forvirret. Tværsnittet ser således ud. Det vil skære den nederste kegle her, og det vil skære den øverste kegle der. Dette er tværsnittet ved den nederste kegle. Dette er tværsnittet ved den øverste kegle. Husk planet fortsætter uendeligt i alle retninger. Dette er blot for at få en ide om, hvad keglesnit er og hvorfor de hedder det. Måske jeg burde lave en bedre video. Jeg kan måske finde et 3D program, der kan gøre det bedre. Dette er grunden til de hedder keglesnit og at de hænger sammen. Vi vil gå lidt mere i dybden matematisk i andre videoer. I den næste video, nu da du ved hvad de er og hvorfor de hedder keglesnit, vil jeg snakke om deres formler og hvordan du genkender formlerne og hvordan du afbilder graferne for keglesnit. Vi ses i næste video.