Tekstopgave med trigonometri: løse for antal dage

I den forrige video modellerede vi gennemsnitstemperaturen i Santiago i Chile som en funktion af dage i året. Hvor dagene var dage efter d. 7. januar. Dag 0 er derfor d. 7. januar. Men vi er ikke færdige. Vi skal finde ud af, hvor mange dage efter 7. januar den første forårsdag er, hvor temperaturene når 20°C. Og jeg sagde, vær forsigtig. Du skal være opmærksom på første forårsdag, da der er 2 dage, hvor temperaturen er 20°C. Lad os sige, at dette her er 20°C. Se, du har denne dag her og så har du også denne dag, lige der. Hvilken er den første forårsdag? Dette er sommer. Vi er på den sydlige halvkugle, så vores sommer er når det er vinter på den nordlige halvkugle. Hvilken årstid kommer efter sommer? Det bliver efterår. Så bliver det vinter, og så bliver dette forår. Og så er du tilbage til sommer. Vi skal bruge denne værdi, ikke den her. Dette er en dag i efteråret, hvor gennemsnitstemperaturen er 20°C. Dette er den første forårsdag, hvor gennemsnitstemperaturen er 20°C. Den første forårsdag. Jeg gætter på det ikke er den første forårsdag, men den første dag i foråret hvor temperaturen er 20°C. Men dette er i foråret. Det er denne værdi vi skal bruge. Lad os tænke over det, mens vi prøver at omskrive denne. Vi skal have 20°C. Vi kan skrive, at 20 er lig 7,5cos(2𝜋/365 d) + 21,5. Nu kan vi trække 21,5 fra på begge sider og vi får -1,5 er lig -- jeg copy-paster lige -- er lig alt dette. Nu kan jeg dividere på begge sider med 7,5. Bemærk, at jeg forsøger at isolere cosinus og dermed løse isolere d, men vi holder lige en pause, når vi har isoleret cosinus, da vi så skal være forsigtige. Men vi dividerer på begge sider med 7,5. Og vi får -- jeg behøver ikke en lommeregner -- 1,5 dividet med 7 er 1/5. 5 gange 15 eller 5 gange 1,5 er 7,5, så dette er -1/5 eller jeg kan skrive det som -0,2 er lig cos(2𝜋/365 d). Dage efter 7. januar. Det er her vi skal være meget forsigtige og ikke blot tage hovedet under armen og bruge den inverse cosinusfunktion. Vi skal sikre os, at vi får den rigtige vinkel. Vi skal finde det input i cosinus, der ikke giver os dette punkt, men giver os dette punkt her. Eller som svarer til det punkt her. Lad os tegne en enhedscirkel, for at være sikker på vi ved, hvad er foregår. Faktisk gør jeg altid dette, især når jeg bruger de inverse trigonometriske funktioner for ligesom at se det i en sammenhæng, så jeg ikke blot indtaster på min lommeregner. Lad mig tegne en enhedscirkel lige her x-aksen, y-aksen og cirkel med radius 1 med centrum i origo. Du kender den allerede, vi har gjort det mange gange før. Den 7. januar svarer til dette punkt lige her. Dette punkt er sommer. Når dagene går, så bliver vores input i cosinus større og vinklen vokser og dette her er efterår. Dette punkt her er i efteråret. Så bliver det vinter her. Og til sidst bliver det forår. Dette er forår. Vi skal finde den vinkel, der giver os -0,2. Dette er -1. -0,2 er en femtedel af vejen så dette er -0,2. Bemærk, der er to vinkler, der giver os dette. Der er denne vinkel, lige her -- lad mig lige lave en stiplet linje -- Der er denne vinkel, men der er også den vinkel, som er endnu længere rundt. Eller du kan komme hen til den ved at gå baglæns. Hvis du vil gå hele vejen rundt til næste forår, så kan du læge 2𝜋 til. Hvilken en vil vi have? Vi vil naturligvis have den i foråret. Men hvis vi blot havde brugt invers cosinus til -0,2, så ville vi have fået den her. Det kan vi tjekke. Invers cosinus til -0,2 er 1,77. Husk dette er 0 og dette er 𝜋, så dette er 3,14159 og det her er 1,77. Det er en lille smule mere end 𝜋/2, som er præcis, hvad denne vinkler er. Dette er omkring 1,77 radianer. Men vi vil ikke have den, vi vil have denne her. Hvordan gør vi det? Vi kan gå hele vejen hen til 2𝜋 og så trække 1,77 fra, så vi siger 2𝜋 - 1,77. Det svarer til denne vinkel. Lad os gøre det Lad os tage 2𝜋 og trække dette tal fra. -- jeg bruger blot svaret fra før, så jeg får god præcision her -- Jeg får 4,511. Vi kan se, at det er korrekt, da det ligger mellem 𝜋 og 2𝜋. 2𝜋 er 2 gange 3,14159, så det er 6,28 noget. Dette er 3,14159. Dette er den rigtige vinkel. Vi er ikke færdige endnu. Det er det input vi skal indsætte her for at få dette punkt, men hvilken dag er det? 2𝜋/365 ⋅ d er lig dette tal 4,511. Lad mig skrive det ned. Dette her er cirka lig 4,511. Lad mig køre lidt nedad Vi kan sige 2𝜋/365 ⋅ d -- dage efter 7. januar -- er cirka lig 4,511. Nu kan vi isolere d ved at gange på begge sider med det reciprokke til koefficienten, så vi ganger på begge sider med 365/2𝜋. Disse går ud med hinanden og nu kan vi bruge vores lommeregner. Vi får bedre præcision ved at bruge vores tidligere svar og gange med 365 -- vi fortjener en trommesolo -- og dividerer med 2𝜋 og vi får afrundet til den nærmeste dag 262 dage efter 7. januar. og vi er færdige.