Bevis for sinusrelationerne

Jeg vil nu lave et bevis for sinusrelationerne. Lad mig tegne en vilkårlig trekant. Det er den ene side. Her er den anden side. Jeg forsøger, at få den til at se lidt mærkelige ud, så du ved, dette gælder for enhver trekant. Lad os sige, vi har følgende oplysninger. Vi kender denne vinkel, Nej faktisk vil jeg ikke sige hvad vi ved, da sinusrelationerne handler om forhold mellem forskellige vinkler og sider. Lad os sige, at denne vinkel er ⍺. Denne side er A. Længden er A. Lad os sige denne vinkel er β. Længden her er B. -- β er blot et B med en lang hale -- Lad os se, om vi kan finde en sammehæng mellem A og B og ⍺ og β. Hvad kan vi gøre? Forhåbentlig er den sammenhæng vi finder sinusrelationerne. Ellers må jeg omdøbe denne video. Lad mig tegne en højde her. -- Jeg tror det er det rette ord -- Hvis jeg tegner en linje fra denne side, der går lige ned og er vinkelret på denne side, som jeg ikke har mærket, men hvis jeg gør bliver det C, da det er A og B. Dette bliver en 90°s vinkel. Jeg kender ikke dens længde, jeg ved intet om den. Jeg ved, at jeg gik fra denne spids og lavede en linje vinkelret på denne side. Hvad kan vi gøre med denne linje? Lad os sige, den har længden x. Længden af denne linje er x. Kan vi finde en sammenhæng mellem A, længden af linje x og β? Selvfølgelig. Lad os se. Lad mig bruge en passende farve. Hvad er sammenhængen? Hvis vi ser på denne vinkel β, så er x overfor den og A er hypotenusen, da dette er en retvinklet trekant, ikke? Hvad har med modstående side og hypotenusen at gøre? Når vi laver trigonometri bør vi altid, skrive "Mod Hos ModHos" her oppe. Hvad bruger modstående over hypotenusen? Sinus, ikke? "Mod" og det havde du nok gættet, da jeg beviser sinusrelationerne. sin(β) er lig modstående over hypotenusen. Den modstående er x over hypotenusen, som er A, i dette tilfælde. Nu kan vi løse den for x, og det gør vi, da det bliver belejligt senere. Vi ganger begge sider af denne ligning med A og du får A sin(β) er lig x. Godt nok. Så kom vi da lidt videre. Lad os se, om vi kan finde en sammenhæng mellem ⍺, B og x. På samme måde, så vi kigger på denne retvinklet trekant og fordi det er en retvinklet trekant og x er overfor ⍺, så er det igen den modstående side og B er nu hypotenusen. Vi kan skrive, at sin⍺ -- lad mig bruge en anden farve -- sin⍺ er lig modstående over hypotenusen. Den modstående er x og hypotenusen er B Lad os løse for x igen. Ganger på begge sider med B og du får B sin(⍺) er lig x. Hvad har vi nu? Vi har to forskellige måder at løse for denne tingest som jeg lavede her, x, ikke? Vi har A sin(β) er lig x og B sin(⍺) er lig x. Hvis de begge er lig x, så er de begge lig hinanden. Lad mig skrive det i en beroligende farve. Vi ved, at A sin(β) er lig x, som også er lig B sin(⍺). Hvis vi dividerer begge sider med A, hvad får vi så? Vi får sin(β), da A'et på denne side fjernes, er lig B sin(⍺) over A. Når vi dividerer på begge sider af denne ligning med B, så får vi sin(β)/B = sin(⍺)/A. Dette er sinusrelationerne. Forholdet mellem sin(β) og dens modsatte side, der svarer til B er lig forholdet mellem sin(⍺) og dens modsatte side. Mange gange i bøger, hvis denne vinkel er θ og dette er C, så står der også er lig sin(θ)/C. Beviset for at tilføje denne er det samme. Vi valgte B tilfældigt vi kunne have gjort præcis det samme med θ og C, men i stedet for at tegne højden her, så skulle vi have lavet en af de andre højder. Jeg tror du kan finde ud af det. Det vigtige er, at vi har dette forhold. Da det er et forhold, så kan vi vende det om og skrive B/sin(β) er lig A/sin(⍺). Dette er nyttigt, når du kender en side og dens tilsvarende vinkel, vinklen overfor, og du kender en anden side, så kan du bestemme den vinkel den er overfor. Eller hvis du kender tre af disse ting, så kan du finde den fjerde. Det er det, der er så nyttigt ved sinusrelationerne. Nu vil jeg lave et par tekstopgaver med sinusrelationerne. Vi ses i den næste video.