Eksempler på sammensatte uligheder

Lad os løse nogle opgaver med sammensatte uligheder, som er er uligheder med mere en et sæt af betingelser. Du vil se, hvad jeg mener om et øjeblik. I den første opgave har vi, at minus 5 er mindre end eller lig med x minus 4, som er mindre end eller lig med 13. Vi har 2 sæt af betingelser for x, som skal opfyldes i udtrykket. x minus 4 skal være større end eller lig med minus 5, og x minus 4 skal være mindre end eller lig med 13. Vi kan omskrive den sammensatte uligheden til minus 5 skal være mindre end eller lig med x minus 4, OG x minus 4 skal være mindre end eller lig med 13. Vi løser dem hver for sig, men vi skal huske, at der står "og", når vi finder løsninger for den sammensatte ulighed. Det skal være løsninger, som opfylder både den ulighed og den ulighed. Lad os løse dem hver for sig først. I den her kan vi lægge 4 til på begge sider. På venstre side minus 5 plus 4. Det er minus 1. Minus 1 er mindre end eller lig med x. 4-tallene reduceres, og vi har kun 1 x på højre side. Den venstre side kan forkortes til x skal være større end eller lig med minus 1, eller minus 1 er mindre end eller lig med x. Vi kan også skrive det som x skal være større end eller lig med minus 1. De 2 betyder det samme. Vi vendte bare uligheden. Lad os nu se på den anden betingelse. Her i den grønne kasse. Lad os lægge 4 til begge på sider. På venstre side får vi bare x. På højre side får vi 13 plus 4. Det er 17. Vi har nu, at x er mindre end eller lig med 17. Vores 2 betingelser er, x skal være større end eller lig med minus 1 og mindre end eller lig med 17. Vi kan omskrive det til en sammensat ulighed. Løsningen er de x-værdier, som er mindre end eller lig med 17 og større end eller lig med minus 1. Begge betingelser skal være opfyldt. Hvordan ser det ud på en tallinje? Lad os tegne en tallinje her. Lad os sige, at det er 17. Der er 18 og så videre. Det her er 0. Der er selvfølgelig en masse tal i mellem. Her er minus 1 og der er minus 2. x er større end eller lig med minus 1, så vi starter ved minus 1. Vi fylder cirklen ud, fordi vi har 'større end eller lig med'. x er større end minus 1, men det skal også være mindre end eller lig med 17. Det kunne være lig med 17 eller mindre end 17. Løsningerne er alle de x, som er markeret med orange. Med interval notation skriver vi x er mellem minus 1 og 17, og den kan også være lig med minus 1, så den kantet parentes vender indad og den kan også være lig med 17. Det er interval notationen for løsningen for den sammensatte ulighed. Lad os tage en mere. Lad os tage en interessant en. Vi har den sammensatte ulighed Minus 12 er mindre end 2 minus 5x, som er mindre end eller lig med 7. En opgave, hvor der er en 'mindre end' og en 'mindre end eller lig med'. Der er altså 2 forskellige typer ulighedstegn, da det er godt at se et eksempel med begge typer ulighedstegn. Først kan vi opdele den i 2 almindelige uligheder. Her er den ene ulighed. Vi ved, at minus 12 skal være mindre end 2 minus 5x. Det skal være opfyldt, OG den her ulighed skal også være opfyldt. 2 minus 5x skal være mindre end 7 og større end 12, mindre end eller lig med 7 OG større end minus 12, så 2 minus 5x skal være mindre end eller lig med 7. Dem løser vi bare hver for sig. Vi skal fjerne de 2 på venstre side her. Lad os trække 2 fra på begge sider af den her ulighed. Når vi trækker 2 fra begge sider af uligheden, bliver venstre side minus 14 er mindre end -- 2 går ud -- så mindre end minus 5x. Lad os dividere begge sider med minus 5. Husk, at når vi ganger eller dividerer med et negativt tal, skal vi vende ulighedstegnet. Når vi dividerer begge sider med minus 5, får vi minus 14 over minus 5, og vi har 1x på højre side. Vi dividerer med minus 5 og vender tegnet, så det bliver til et 'større end'-tegn. De to minus reduceres, og vi har 14/5 er større end x, eller x er mindre end 14/5. Hvad giver det? Det er 2 og 4/5. x er mindre end 2 og 4/5. Vi omskrev bare den uægte brøk til et blandet tal. Lad os se på den anden ulighed. Den her i lilla. Vi trækker 2 fra på begge sider af den her ulighed, som vi gjorde før. Vi kunne gøre det samtidigt, men det bliver let uoverskueligt. For at undgå sjuskefejl er det bedst at adskille dem, som vi gør her. Vi trækker igen 2 fra begge sider af uligheden. Venstre side bliver minus 5x, og det er mindre end eller lig med, højre side bliver 7 minus 2, det er 5. Vi dividerer nu begge sider med minus 5. På venstre side får vi et x. På højre side er det 5 divideret med minus 5. Det er minus 1. Vi dividerer med et negativt tal, så vi skal vende ulighedstegnet. Det var et 'mindre end eller lig med' og bliver til et 'større end eller lig med'. Vi har nu de 2 løsninger. x skal være mindre end 2 og 4/5, og det skal være større end eller lig med minus 1. Vi skriver det som et interval. x skal være større end eller lig med minus 1. Det er den nedre grænse for intervallet, og det skal være er mindre end 2 og 4/5. Læg mærke til, at det ikke er mindre end eller lig med. Så vi har en parentes der, (På dansk vil man bruge [ ) fordi det ikke kan være lig med 2 og 4/5. x skal være mindre end 2 og 4/5. Vi kan også skrive det på en anden måde. x skal være mindre end 2 og 4/5. Det er bare den ulighed vendt om, og det skal være større end eller lig med minus 1. De 2 udtryk er ens. Vi kan også tegne det på en tallinje. Her er minus 1 og 2 og 4/5 er her. Der er naturligvis tal imellem. 0 er her. Det skal være større end eller lig med minus 1. Det kan godt være lig med minus 1, så cirklen er udfyldt. Det skal være større end minus 1 og det skal være mindre end 2 og 4/5. Det kan ikke være lig med 2 og 4/5. Det kan kun være mindre end, så vi sætter en tom cirkel omkring 2 og 4/5, og så er det alle tal mindre end hele vejen ned til minus 1. 1 er med, fordi vi har "mindre end eller lig med". Disse to opgaver kaldes "OG"-opgaver. Vi skal opfylde begge betingelser. Lad os nu tage en "ELLER"-opgave. Lad os sige, at vi har de her uligheder. Lad os sige, at 4x minus 1 skal være større end eller lig med 7, ELLER 9x over 2 skal være mindre end 3. Når vi siger "ELLER", er løsningerne alle de x, som vil opfylde 1 af de 2 uligheder. I de to andre opgaver skulle vi finde x, der opfyldte begge uligheder. Her er det mere frit. Vi skal bare opfylde 1 af de 2. Lad os finde løsninger for dem begge hver for sig og bagefter kombinationen af alle x, der opfylder 1 af de 2 uligheder. For den venstre del kan vi lægge 1 til på begge sider. Vi lægger 1 til på begge sider. På venstre side bliver det 4x er større end eller lig med 7 plus 1. Det er 8. Vi dividerer begge sider med 4, så x er større end eller lig med 2. ELLER Lad os nu tage den her. Hvis vi ganger begge sider med 2/9, hvad får vi så? Vi ganger begge sider med 2/9. Det er et positivt tal, så vi skal ikke vende ulighedstegnet. Disse reduceres, og vi får x er mindre end 3 gange 2/9. 3/9 er det samme som 1/3, så x skal være mindre end 2/3. ELLER x er mindre end 2/3. Vi har nu de 2 sæt af løsninger. x skal være større end eller lig med 2 ELLER mindre end 2/3. Det er interessant. Lad os tegne løsningerne på tallinjen. Det er vores tallinje. Det er 0, 1, 2, 3. Det er minus 1. x skal være større end eller lig med 2. Vi kan starte med 2 her og det skal være større end eller lig med 2, så vi inkluderer alt, der er større end eller lig med 2. Det er den løsning dér. Den anden løsning siger, at x også skal være mindre end 2/3. 2/3 er her omkring. Der er 2/3. x kan være mindre end 2/3. Det er interessant, for hvis vi vælger et af de her tal, vil det opfylde den her ulighed. Hvis vi vælger et af de her tal, vil det opfylde den her ulighed. Hvis der havde stået "OG" her, ville der ikke have været nogle tal, som opfylder den, fordi et tal kan ikke både være større end 2 og mindre end 2/3. Grunden til, at vi har en løsning til opgaven er, fordi det er en "eller"-opgave. x skal bare opfylde 1 af de 2 uligheder. Jeg håber, du har syntes det var nyttigt.