Finde den inverse til funktioner med rationale (brøk) udtryk

Okay, vi har funktionen f(x), som er lig (2x + 5) over (4 - 3x). Vi skal finde den inverse funktion til denne funktion. Sæt videoen på pause og se, om du kan finde ud af det inden vi laver den sammen. Okay, lad os lave den sammen. Først en kort gennemgang af hvad en funktion og dens inverse gør. Dette er definitionsmængden af en funktion altså alle de værdier du kan inputte i funktionen og få et output. Her er et x i definitionsmængden. Når jeg indsætter dette x i funktionen, så vil funktionen lave et output, der ligger i funktionens værdimængde, som vi kalder f(x). Den inverse funktion går den anden vej. Hvis du bruger f(x) som input, så får du x igen. Det er kort sagt, hvad den inverse til f gør. Hvordan finder vi den inverse til en funktion, der har en forskrift, som er dette rationale udtryk? Man kan sige, hvis y er lig f(x) så y er lig (2x + 5) over (4 - 3x). I den inverse funktion er sammenhængen mellem x og y omvendt. For den inverse funktion gælder derfor, at x = (2y + 5) / (4 - 3y). For at skrive det som en funktion af x, altså y er en funktion af x, så skal vi isolere y. Der skal laves en smule algebra. Lad os se om vi kan finde ud af det. Det første jeg vil gøre er at gange på begge sider med (4 - 3y). Så vil vi på venstre side have x(4 - 3y), som er 4x - 3yx som er lig på højre side har vi ganget med nævneren, så vi har blot tælleren tilbage, som er lig 2y + 5. Det ser måske lidt skræmmende ud, da vi har x'ere og y'ere, men husk vi skal isolere y. Lad os derfor samle y'erne på den ene side og alt andet på den anden side. Lad os fjerne 2y her ved at trække 2y fra på begge sider. Lad os fjerne 4x fra den venstre side ved at trække 4x fra på begge sider. På venstre side har vi -3yx - 2y tilbage. -- Du kan måske se, hvad der skal ske, og jeg vil vise det om et øjeblik -- er lig med 5 - 4x. Husk vi er ved at isolere y. Lad os sætte y udenfor parentes og vi får y(-3x - 2) er lig 5 - 4x. Vi er næsten i mål. Vi kan dividere på begge sider af ligningen med (-3x - 2). Vi får y = (5 - 4x) / (-3x - 2). Vi kan omskrive dette ved at gange både tæller og nævner med -1, da det ikke ændrer værdien. I tælleren får vi (4x - 5) og i nævneren får vi (3x + 2). Sådan. Vores inverse af f som en funktion af x, som vi kan sige er lig med dette y er lig med alt dette.