Løsning af andengradsligninger: komplekse rødder

Vi skal løse 2x² + 5 = 6x. Vi har altså en andengradsligning. Men lad os først omskrive den til standardform. som er ax² + bx + c = 0. For at gøre det, så fjerner vi 6x fra højre side. så vi kun har 0 tilbage på højre side. For at gøre det, skal vi trække 6x fra på begge sider af ligningen. Venstre side bliver til 2x² - 6x + 5. På højre side fjernes disse og vi har 0 tilbage. Man kan løse dette på flere måder. Vi kan faktorisere. Hvis vi gør det, så vil jeg dividere begge sider med 2, og få heltals koefficienter på x²-leddet og x-leddet, men jeg får 5/2 som konstantled. Dette er ikke nemt at faktorisere. Vi kan lave kvadratkomplementering, eller vi kan bruge løsningsformlen, som kommer af kvadratkomplementering. Så lad os gøre det. Løsningsformlen siger, når noget er på standardform, som her, så er rødderne lig med -b + eller -, så vi får to rødder, +/- kvadratroden af (b² - 4ac) divideret med 2a. Lad os gøre det. -b Dette er b. Så -b er minus -6, så +6. +/- kvadratroden af b², -6² er 36, -4 gange a, som er 2, gange c, som er 5. Alt dette over 2 gange a. a er 2. 2 gange 2 er 4. Det bliver altså lig med 6 +/- kvadratroden af -- lad mig lige finde ud af det -- 36 minus 4 gange 2 gange 5. Det er 40. 36 - 40. -- Du tænker nok, hvad så? -- Alt dette over 4. Eller dette er lig med 6 +/- kvadratroden af -4, 36 - 40 er -4, over 4. Nu siger du, men vent Sal, hvis jeg tager kvadratroden af et negativt tal, så får jeg et imaginært tal. Du har ret. De to rødder af denne andengradsligning er komplekse tal. Når vi udregner dem, så får vi imaginære tal. Vi får egentlig to komplekse tal, når vi tager den positive og negative rod. Lad os gøre det. Kvadratroden af -4 er det samme som 2i. Kvadratroden af -4 er det samme som kvadratroden af -1 gange kvadratroden af 4. -- Lad mig lige gå et trin tilbage -- som kvadratroden af (-1 gange 4), som er det samme som kvadratroden af -1 gange kvadratroden af 4 Kvadratroden af -1 er i gange kvadratroden af 4, som er 2. Det er 2i eller i gange 2. Dette er altså 2i. Tilbage har vi, x er lig med 6 +/- 2i over 4. Vi kan dividere tæller og nævner med 2, så har vi 3 +/- i over 2. Hvis du vil skrive dem som to forskellige komplekse tal, så får du 3 + i over 2 eller 3/2 + 1/2 i -- det er den positive rod af i -- og vi får 3/2 - 1/2 i. Dette og disse to er det samme. Disse er de to rødder. Nu vil jeg tjekke vores arbejde. Tjekke disse to rødder. Jeg kan omskrive denne til 3 + i over 2. Det er det samme. Jeg dividerer blot med 2, eller sætter 1/2 foran. Begge dele virker. Denne her bliver 3 - i over 2. Du kan gå direkte fra denne her. (3 ± i)/2 er (3 + i)/2 eller (3 - i)/2. Den og den eller den og den eller dette. De svarer alle til begge rødder. Lad os se, om de virker. Jeg prøver først denne her. Vi skal holde tungen lige i munden, da vi skal kvadrere det hele. Lad os se om vi kan. Vi skal altså sige 2 gange kvadratet på denne størrelse, 2 gange (3 + i over 2)² +5. Vi skal se om det er det samme som 6 gange denne størrelse, som 6 gange 3 + i over 2. Hvad er (3 + i)² ? Det er 3² som er 9 plus 2 gange produktet af 3 og i, som er 3i, gange 2 er 6i, +6i. -- dette er første kvadratsætning, men du kan også gange parenteserne ud eller bruge FOIL -- plus i² som er -1. Alt dette over 4 plus 5. Det er lig med, vi dividerer tæller og nævner med 2 og du får 3 her og 1 her. 3 gange 3 + i er 9 + 3i. Det kan reduceres for at spare lidt plads. 9 -1 er 8, så vi har 8 + 6i. Vi dividerer tæller og nævner med 2 Tælleren bliver 4 + 3i og nævneren bliver 2. 2 og 2 går ud med hinanden. På venstre side har vi 4 + 3i + 5 som er lig med 9 + 3i Vi har 3i på begge sider af ligningen. Vi har 4 + 5 som er lig med 9. Denne løsning 3 + i over 2 virker. Lad os prøve 3 - i over 2. Vi starter med den oprindelige ligning 2x² + 5 = 6x. Vi indsætter den anden rod. Vi har 2 gange (3 - i over 2)² + 5 er lig med 6 gange 3 - i over 2. Igen tungen lige i munden, så skal det nok gå. (3 - i)² er (3 - i) gange (3 - i) -- anden kvadratsætning -- Det bliver 9, det er 3², produktet af 3 og -i gange 2 er -6i og i², som er -1. Det er -1 gange -1 gange i gange i, -1. (-i)² er også lig -1. -i er også en kvadratrod af -1. så vi tilføjer -1. Alt dette over 4, da 2² er 4. Husk gange 2 og plus 5 er lig med -- før vi ganger ud lad os dividerer tæller og nævner med 2. 6 divideret med 2 er 3. 2 divideret med 2 er 1. Så er 3 gange 3 lig med 9, og 3 gange -i er -3i. Lad os reducere venstre side. 9 -1 er -- med blåt -- 9 - 1 er 8. Vi har 8 - 6i. Vi kan forkorte brøken med 2. I tælleren får vi 4 - 3i. I nævneren får vi 2. Vi dividerede tæller og nævner med 2. Vi har 2 her ude og vi har 2 i nævneren. De går ud med hinanden. Dette udtryk kan reduceres til 4 - 3i + 5, som er lig med 9 - 3i. Vi har -3i på venstre side og -3i på højre side. Vi har 4 + 5. Lad os udregne det. Venstre side er 9 - 3i som er det samme som den højre side 9 - 3i. Denne løsning er altså også en rod. Nu har vi tjekket, at begge disse komplekse rødder opfylder ligningen.