If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 2

Modul 3: Det komplekse talplan
Matematik
Algebra 2
Komplekse tal
Det komplekse talplan
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Det komplekse talplan

Google Classroom
Lær om det komplekse talplan og hvordan det bruges til at repræsentere komplekse tal.
Den Imaginære enhed eller i, har følgende egenskaber:
  • i2=−1
  • −1=i
Et komplekst tal er et vilkårligt tal, der kan skrives som a+bi, hvor i er den imaginære enhed og a og b er reelle tal.
a kaldes den reelle del af tallet, og b kaldes den imaginære del af tallet.

Det komplekse talplan

Ligesom vi kan bruge tallinjen til at visualisere de reelle tal, kan vi bruge det komplekse talplan til at visualisere de komplekse tal.
Et koordinatsystem, hvor x aksen er mærket reel akse, og y aksen er mærket imaginær akse. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus7 til 7.
Det komplekse talplan består af to tallinjer, der skærer hinanden i en ret vinkel i punktet (0,0).
Den vandrette tallinje (som vi kender som x-aksen i et Cartesisk koordinatsystem) er den reelle akse.
Den lodrette tallinje (y-aksen i et Cartesisk koordinatsystem) er den imaginære akse.

Afbildning af et komplekst tal

Ethvert komplekst tal kan repræsenteres af et punkt i det komplekse talplan.
Tallet 3−5i, som kan skrives på standardformen 3+(−5)i, har en reel del på 3 og en imaginær del på −5.
For at finde placeringen af dette tal på det komplekse talplan, skal vi gå til til 3 på den reelle akse og −5 på den imaginære akse.
Et koordinatsystem, hvor x aksen er mærket reel akse, og y aksen er mærket imaginær akse. Begge akser har markeringer for hver 1. Hver anden markering fra minus 8 til 8 er mærket. Punktet 3 komma minus 5 i er markeret. En lodret stiplet linje går fra 3 på x aksen til punktet og en vandret stiplet linje udgår fra minus 5 på y aksen til punktet.
Tallet 3+(−5)i svarer til punktet (3,−5). Generelt svarer det komplekse tal a+bi til punktet (a,b) i det komplekse talplan.

Tjek din forståelse

Opgave 1
Afbild det komplekse tal −4+7i.

Opgave 2
Afbild det komplekse tal 6i+1.

Opgave 3
Afbild det komplekse tal −i−3.

Opgave 4
Afbild det komplekse tal 4i.

Opgave 5
Afbild det komplekse tal −7.

Sammenhængen med den reelle tallinje

I Pythagoras' dage var opdagelsen af irrationelle tal en overraskende! De grublede over, hvordan noget som 2 kunne eksistere, når man ikke kunne angive decimalerne nøjagtigt.
Tallinjen med reelle tal hjælper os i denne situation. Hvorfor? Fordi 2 har en specifik placering på den reelle tallinje, som viser, at det faktisk er et egentligt tal. (Hvis du tager diagonalen af et enhedskvadrat og lægger den ene ende i 0, vil den anden ende svare til tallet 2.)
Ligeledes eksisterer ethvert komplekst tal, fordi det svarer til en præcis placering i det komplekse talplan! Da vi kan visualisere disse tal er "imaginær" måske en misvisende betegnelse.
Komplekse tal eksisterer og er vigtig en del af matematik. Den reelle tallinje er blot den reelle akse i det komplekse talplan, men der ligger så mere ud over denne enkle linje!

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.