Falske løsninger

I denne video skal vi snakke om falske løsninger. Hvis du aldrig har hørt om dem før, så opfordrer jeg dig til at se videoer på Khan Academy om falske løsninger. Dette er en genopfriskning. Når du laver nogle korrekte algebraiske operationer, og du til sidst får en eller flere løsninger, som du afprøver i den oprindelige ligning, så er den ikke længere sand. Formålet med denne video er at finde ud af, hvorfor falske løsninger opstår? Dette har at gøre med begrebet reversible operationer. I algebra er der visse operationer, du kan lave i en retning, hvor de altid er sande, men de er ikke altid sande i den anden retning. Jeg vil vise dig disse to operationer. Den ene er kvadrering og den anden er at gange på begge sider med et variabelt udtryk. Lad os se på kvadrering og så vil vi lave en opgave, hvor du har en falsk løsning. For eksempel så ved vi, hvis a er lig b, og jeg kvadrerer på begge sider, så er a² lig b². Men det er ikke sandt, når vi går den anden vej. For eksempel, hvis a² er lig b², så er a ikke nødvendigvis lig b. Lad mig lave et eksempel, hvor det ikke er sandt. Nej, sæt videoen på pause og tænk over det. (-2)² er lig 2², men -2 er ikke lig 2. Dette viser, at du kan kvadrere på begge sider af en ligning og udlede noget, der er sandt. Men når du går den anden vej, så er det ikke nødvendigvis sandt. En anden ikke-reversibel operation er at gange på begge sider med et variabelt udtryk. Jeg har skrevet variabel, men det kan også være et udtryk. For eksempel, vi ved, hvis a er lig b, og vi ganger begge sider med en variabel, så er det stadig sandt. xa er lig xb. Men den reversible operation er ikke nødvendigvis sand. Hvis xa er lig xb, er det så altid sandt, at a er lig b? Det enkle svar er nej. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og se om du kan finde et eksempel, hvor det ikke passer. Hvis a er 2 og b er 3 og den variable x er lig 0. Vi ved, at 0 gange 2 er lig 0 gange 3. Men 2 er ikke lig 3. Hvad har alt dette med de falske løsninger at gøre, som du kender, når du løser ligninger med rationale udtryk? Lad os se på et eksempel. Lad os løse en rational ligning. Hvis jeg vil løse ligningen kvadratroden af (5x - 4) er lig x - 2, så vil det første trin typisk være at fjerne rodtegnet ved at kvadrere på begge sider. Så jeg vil kvadrere på begge sider og så får jeg 5x - 4 er lig x² - 4x + 4. Hvis dette er helt nyt for dig, så har vi andre videoer, hvor vi gennemgår ligninger med rationale udtryk. Vi kan trække 5x fra på begge sider. Vi kan lægge 4 til på begge sider. Jeg forsøger at få 0 på venstre side. Nu har jeg 0 er lig x² - 9x + 8, eller 0 er lig (x - 8)(x - 1) så vi kan skrive (x - 1) er lig 0, eller (x - 8) er lig 0. Vi får så x er lig 1 eller x er lig 8. Lad os tjekke disse løsninger. Når x er 8 -- og jeg farvekoder lige -- Når vi tjekker i den oprindelige ligning, så får vi kvadratroden af 36 er lig 6, som er fuldstændig korrekt. Den virker. Hvad med x er lig 1? Jeg får kvadratroden af (5 gange 1 minus 4), som er kvadratroden af 1 er lig 1 - 2, som er -1. Den går ikke. Dette er en falsk løsning. Hvad er alle de x-værdier, der opfylde ligningen? Du vil ikke svare x er lig 1, selvom du fandt det via tilladte algebraiske operationer. Dette skyldes... Nej sæt videoen på pause og kig tilbage. For hvilke af disse trin virker x er 1 og for hvilke gør den ikke? Du kan se, at x er lig 1 virker i alle ligninger under denne lilla streg. Den passer ikke for kvadratroden af (5x - 4) er lig x - 2. Hvis du starter med x -1, så kan du udlede hele vejen frem til denne linje. Problemet er, at kvadrering ikke er en reversibel operation. Det svarer til at sige, vi ved, at a² er lig b² Vi ved dette er lig dette. Men det betyder ikke nødvendigvis, at a er lig b, når x er lig 1. Vi kan gøre det samme med en ligning, der har rationale udtryk. For eksempel -- lad mig lige lave lidt plads -- hvis vi skal løse x² over (x - 1) er lig 1 over (x - 1) så vil det første jeg gør være at gange begge sider med (x - 1). Bemærk, jeg ganger begge sider med et variabelt udtryk, så nu skal vi være påpasselige, og jeg får x² er lig 1, som jeg kan skrive som, x er lig 1 eller x er lig -1. Vi kan nu tjekke disse. For x er lig 1, når jeg går herop, så dividerer jeg med 0 på begge sider. Dette er en falsk løsning. Pointen er, at vi har ganget på begge sider med et variabelt udtryk. Her gangede vi på begge sider med (x -1). Det er tilladt. Vi kan gange på begge sider med et variabelt udtryk, og det er en tilladt algebraisk operation. Det svarer helt til det vi så her. Blot fordi 0 gange 2 er lig 0 gange 3, så betyder det ikke, at 2 er lig 3. Helt det samme. Vi gangede med et variabelt udtryk, som har værdien 0, når x er lig 1. Forhåbentlig forstår du nu lidt bedre, hvorfor der opstår falske løsninger. Når du kvadrerer, og når du ganger på begge sider med et variabelt udtryk. Begge er helt tilladt, når du blot gør dem ordentligt. Men det er ikke altid givet, at det reversible er sandt. Du kan lave addition og subtraktion på begge sider af en ligning og det er altid reversibelt. Det giver ikke nogle falske løsninger. Du kan lave multiplikation og division med en værdi forskellig fra 0. Det fører heller ikke til noget lusket. Men hvis du kvadrerer på begge sider eller ganger på begge sider med et variabelt udtryk, så skal du være mere forsigtig.