Introduktion til stive transformationer

I denne video vil jeg introducere dig til begrebet transformationer i matematik. Du har sikkert allerede brugt det i hverdagen. Transformation betyder at ændre noget. Man transformerer en ting til en anden. Hvad betyder transformation i en matematisk sammenhæng? Det betyder, at du tager noget matematisk og ændrer det til noget andet matematisk. Det betyder, du tager et koordinatsæt eller nogle punkter og ændrer dem til et andet koordinatsæt eller punkter. For eksempel her har vi afbildet en firkant i et koordinatsystem. Dette er et sæt af punkter, og ikke kun de 4 punkter, der repræsenterer firkantens hjørner, men også alle punkter langs siderne. Der er en hel masse punkt langs her. Du kan sige, der er uendelige mange punkter langs denne firkant. Det her punkt ved (0,-4), det ligger på firkanten. Vi kan foretage en transformation af den. Det første jeg vil vise dig er en parallelforskydning, som betyder at alle punkter flyttes i samme retning og samme afstand i den retning. Jeg bruger Khan Academys widget. Lad os lave en parallelforskydning ved at tage fat i et hjørne. Jeg har flyttet det 2 til højre. Hver punkt, ikke kun de orange punkter, er flyttet 2 til højre. Dette er flyttet 2 til højre. Dette punkt er flyttet 2 til højre. Hvert punkt er flyttet lige langt i samme retning. Det er en parallelforskydning. Nu er alting flyttet 1 til højre og 1 op. De er alle flyttet lige meget i samme retning. Det er en parallelforskydning. Du kan nok regne ud, at det ikke er den eneste type af transformation. Faktisk er der et ubegrænset antal forskellige transformationer. For eksempel kan jeg foretage en drejning. Jeg har et andet sæt punkter her, som repræsenterer en firkant. Vi kan kalde den BCDE. Jeg kan dreje den omkring punkt D. Dette er hvad jeg starter med. -- lad mig se om jeg kan -- Jeg drejer den 90 grader. Det er ret tæt på en 90-graders drejning. Alle punkter er nu flyttet i forhold til det punkt jeg drejede omkring. Jeg har drejet den 90 grader og det punkt er flyttet over i dette punkt. Det punkt er nu flyttet over i det punkt. Jeg vælger kun hjørner, fordi de er lidt nemmere at se. Dette punkt er flytte over i dette. Da D er omdrejningspunktet, så er det ikke flyttet. Lad mig give dig lidt nye ord. Det sæt af punkter du har efter transformationen er kaldet transformationens billede. Jeg havde firkant BCDE, jeg foretager en 90-graders drejning mod uret omkring punkt D. Det nye sæt af punkter er billedet af vores oprindelige firkant efter transformationen. Lad mig lige fjerne dette. Jeg behøver ikke dreje omkring et punkt, der er en del af firkanten. Jeg kan dreje omkring origo. Jeg kan gøre sådan. Se, det er en anden drejning. Jeg kan dreje omkring ethvert punkt. Lad os se på anden transformation. En spejling. Du kender spejlinger fra din hverdag. Du ser et spejlbillede i et spejl eller i noget vand. Det er præcis, det vi her skal gøre. Når vi spejler, så spejler vi i en linje. Lad mig gøre det. Vi har en 1 2 3 4 5 ikke-regulær femkant. Lad os spejle den. Lad mig lige lave en spejlingsakse. Jeg kan spejle den over alle mulige linjer. Lad os spejle den i denne. Hvad betyder det, at spejle i noget? Vi får dets spejlbillede og du kan se den som en symmetriakse. Billedet og den oprindelige figur er spejlbilleder hen over denne linje. Lad os lave spejlingen. Sådan, vi har et spejlbillede. Dette er så langt fra linjen. Dets tilsvarende punkt i billedet er på den anden side af linjen, men med samme afstand. Dette punkt har denne afstand fra linjen og dette punkt har den samme afstand, men på den anden side af linjen. Alle de transformationer, jeg lige har vist dig, parallelforskydning, spejling, drejning, de kaldes for stive transformationer. [på dansk også flytninger] Du kan tænke over, hvad stiv betyder i hverdagen? Det er noget, der ikke er fleksibelt. Det betyder noget, du ikke kan strække eller forstørre eller formindske. Det bevarer dets form og det er, hvad stive transformationer rent grundlæggende er. Hvis du vil være lidt mere matematisk, så er stive transformationer noget der bevarer længder og vinkler. I denne tranformation er afstanden mellem det punkt og dette punkt, mellem T og R, og afstanden mellem de tilsvarende punkter i billedet den samme. Vinkel RTY og den tilsvarende vinkel i billedet er det samme. Det samme er sandt, hvis du laver en parallelforskydning. Du kan se, at disse opfører sig som stive objekter. Du kan ikke strække dem, de er ikke fleksible. De bevarer deres form. Hvad er eksempler på transformationer, der ikke er stive transformationer? Når man forstørrer eller formindsker ting. Hvis jeg forstørrer denne, så er vinklerne muligvis bevaret, men længderne er ikke. Det er ikke en stiv transformation. Hvis jeg kun strækker den ene side, eller jeg kun hiver i dette punkt, mens de andre bliver samme sted, så forvrænger jeg den og det er ikke en stiv transformation. Dette er faktisk meget meget spændende. Når du bruger et tegneprogram eller et grafik program eller spiller et videospil, så foretager videospillet en masse transformationer. Nogle gange i 2 dimensioner og nogle gange i 3 dimensioner. Når du begynder på mere avanceret matematik, som lineær algebra, så er der et helt emne om transformationer Faktisk har mange computere rigtig gode grafik kort -- et grafik kort er noget hardware, der er rigtig dygtigt til at lave matematiske transformationer -- så du bedre kan leve dig ind i en 3D verden eller noget i den retning. Det er meget meget spændende stof.