Hovedindhold

Emne: (Geometri (Bibliotek) > Emne 11

Modul 2: Trekanter og kongruens

Gennemgang af kongruenssætningerne for trekanter

Kongruenssætningerne for trekanter gennemgås, hvorefter de bruges til at bestemme kongruens mellem givne trekanter.

Hvad er så fantastisk ved kongruenssætningerne for trekanter?

To figurer er kongruente, hvis og kun hvis vi kan flytte den ene over i den anden ved at bruge et forløb af stive transformationer (flytninger). Dvs. de to trekanter er identiske. Da stive transformationer bevarer længder og vinkler, er alle tilsvarende sider og vinkler kongruente. For at afgøre om to trekanter er kongruente kan man måle alle sider og vinkler i begge trekanter og se om de parvis er kongruente.

Kongruenssætningerne for trekanter giver os en hurtigere metode! Med så få som

3

af målingerne, kan vi ofte vise, om to trekanter er kongruente.

Vi kan opdele enhver polygon i trekanter. Så påvisning af kongruens af disse trekanter er også et nyttigt redskab, når vi arbejder med mere komplekse figurer.

Hvad er kongruenssætningerne for trekanter?


Side-Side-Side (SSS)	Hvis tre sider i to trekanter er parvis lige lange, er trekanterne kongruente. To trekanter med tre par af kongruente sider. I $△ A B C$ ‍ og $△ D E F$ ‍, får vi oplyst: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ $\overset{―}{A C} ≅ \overset{―}{D F}$ ‍ Da de er kongruente, kan vi flytte $\overset{―}{A B}$ ‍ over i $\overset{―}{D E}$ ‍ med et forløb af stive transformationer. Da stive transformationer bevarer længder, så ligger $C^{'}$ ‍ i skæringspunktet mellem to cirkler: en med centrum i punkt $D$ ‍ og en radius på $D F$ ‍ og en med centrum i punkt $E$ ‍ og en radius på $E F$ ‍. Trekant D E F. Punkt A mærke ligger i punkt D. Punkt B mærke ligger punkt E. En cirkel med centrum i punkt E er vist. Punkt F ligger på dens periferi. En cirkel med centrum i punkt D er vist. Punkt F ligger på dens periferi. De to cirkler skærer hinanden to steder. Punkt F ligger i det ene skæringspunkt. Punktet $F$ ‍ ligger på begge cirkler. Punkt $C^{'}$ ‍ ligger enten i $F$ ‍ (i så fald er beviset færdigt) eller i det anden skæringspunkt mellem cirklerne. Hvis $C^{'}$ ‍ ligger i det andet skæringspunkt, kan vi spejle $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ i $\overset{―}{D E}$ ‍. Da spejlinger bevarer sidelængder, så vil $△ A B C$ ‍ være flyttet over i $△ D E F$ ‍.
Side-Vinkel-Side (SVS)	Hvis to sider og den mellemliggende vinkel i to trekanter er parvis lige store, er trekanterne kongruente. To trekanter med to par af kongruente sider. Den mellemliggende vinkel er også kongruent. I $△ A B C$ ‍ og $△ D E F$ ‍, får vi oplyst: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ Da de er kongruente, kan vi flytte $\overset{―}{A B}$ ‍ over i $\overset{―}{D E}$ ‍ ved at bruge et forløb af stive transformationer. Da stive transformationer bevarer længder, så ligger $C^{'}$ ‍ er på en cirkel med centrum i punkt $B^{'}$ ‍, altså punkt $E$ ‍, og en radius på $E F$ ‍. Da stive transformationer bevarer vinkelmål , så kan $∠ B^{'}$ ‍ ligge på begge sider af $\overset{―}{D E}$ ‍. Trekant D E F. Punkt A mærke ligger i punkt D. Punkt B mærke ligger punkt E. Vinkel E er vist med to buer. En cirkel med centrum i punkt E er vist. Punkt F ligger på dens periferi. To halvlinjer går fra punkt E. Vinklerne mellem disse halvlinjer og siden D E er mærket med to buer, da de svarer til vinkel E. Den ene halvlinje går gennem punkt F. Punkt $F$ ‍ ligger på skæringspunktet mellem cirklen og $\vec{E F}$ ‍. Punktet $C^{'}$ ‍ ligger enten i punkt $F$ ‍ (i så fald er beviset færdigt) eller i skæringspunktet mellem cirklen og $\vec{B^{'} C^{'}}$ ‍ på den anden side af $\overset{―}{D E}$ ‍. Hvis $C^{'}$ ‍ ligger i det andet skæringspunkt, kan vi spejle $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ i $\overset{―}{D E}$ ‍. Da spejlinger bevarer sidelængder og vinkelmål, så vil $△ A B C$ ‍ være flyttet over i $△ D E F$ ‍.
Vinkel-Side-Vinkel (VSV)	Hvis to vinkler og den mellemliggende side i to trekanter er parvis lige store, er trekanterne kongruente. To trekanter med to par af kongruente vinkler. Den mellemliggende side er også kongruent. I $△ A B C$ ‍ og $△ D E F$ ‍, får vi oplyst: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ A ≅ ∠ D$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ Da de er kongruente, kan vi flytte $\overset{―}{A B}$ ‍ over i $\overset{―}{D E}$ ‍ med et forløb af stive transformationer. Da stive transformationer bevarer vinkelmål, så kan vinklerne $∠ A^{'}$ ‍ og $∠ B^{'}$ ‍ ligge på begge sider af $\overset{―}{D E}$ ‍. Trekant D E F. Punkt A mærke ligger i punkt D. Punkt B mærke ligger punkt E. Vinkel D og vinkel E er vist med henholdsvis en og to buer. To halvlinjer går fra punkt D. Vinklerne mellem disse halvlinjer og siden D E er mærket med en bue, da de svarer til vinkel D. Den ene halvlinje går gennem punkt F. To halvlinjer går fra punkt E. Vinklerne mellem disse halvlinjer og siden D E er mærket med to buer, da de svarer til vinkel E. Den ene halvlinje går gennem punkt F. Punkt $F$ ‍ ligger på både $\vec{E F}$ ‍ og $\vec{D F}$ ‍. Punkt $C^{'}$ ‍ ligger enten i punkt $F$ ‍ (i så fald er beviset færdigt) eller i skæringspunktet mellem halvlinjerne på den anden side af $\overset{―}{D E}$ ‍. Hvis $C^{'}$ ‍ ligger i det andet skæringspunkt, kan vi spejle $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ i $\overset{―}{D E}$ ‍. Da spejlinger bevarer sidelængder, så vil $△ A B C$ ‍ være flyttet over i $△ D E F$ ‍.
Vinkel-Vinkel-Side (VVS)	Hvis to vinkler og en ikke-mellemliggende side i to trekanter er parvis lige store, er trekanterne kongruente. To trekanter med to par af kongruente vinkler. En ikke mellemliggende side er også kongruent.
Hypotenuse-Katete (HK)	Hvis hypotenusen og en katete i to retvinklet trekanter er parvis lige store, er trekanterne kongruente. To retvinklet trekanter. De to hypotenuser er kongruente. To kateter er kongruente.

Vil du lære mere om trekanters kongruenssætninger? Tjek denne video.

Hvorfor er Side-Side-Vinkel ikke en kongruenssætning?

Hvis to sider og en ikke-mellemliggende vinkel i to trekanter er parvis lige store, kan trekanterne være kongruente, men ikke nødvendigvis.

Denne sætning giver os ikke nok information, især når den kongruente vinkel er spids. Det er også vigtigt at passe på, hvis trekanterne ikke er vist i korrekt målestoksforhold.

△ A B C

△ D E F

, får vi oplyst:

$∠ B ≅ ∠ E$ ‍
$\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍
$\overset{―}{A C} ≅ \overset{―}{D F}$ ‍

Da de er kongruente, kan vi flytte

\overset{―}{B C}

over i

\overset{―}{E F}

med et forløb af stive transformationer. Da stive transformationer bevarer længder, så ligger

A^{'}

er på en cirkel med centrum i punkt

C^{'}

, altså punkt

F

, og en radius på

D F

. Da stive transformationer bevarer vinkelmål , så ligger

A^{″}

på

\vec{E D}

Punkt

A^{'}

kan derfor ligge i begge skæringspunkter mellem cirklen og

\vec{E D}

. Trekanterne er derfor ikke nødvendigvis kongruente. Du kan bruge denne [Desmos simulering] til at undersøge dette nærmere (https://www.desmos.com/geometry/jslqgxsml9).

Kan vi være sikre på, at to trekanter ikke er kongruent?

En trekant har kun

3

sider og

3

vinkler. Hvis vi kender

4

forskellige sidemål eller

4

forskellige vinkelmål, så ved vi, at de to trekanter ikke kan være kongruente. Nogle gange kender vi størrelser, fordi de er angivet på en tegning. Andre gange bruger vi værktøjer som Pythagoras' læresætning eller trekantens indre vinkelsum at finde manglende størrelser.

Nogle gange er der bare ikke nok information til at vide, om to trekanter er kongruente. Hvis vi kun har kongruente vinkler eller kun kender to kongruente størrelser, så kan trekanterne være kongruente, men der er ikke nok information til at være sikker.

Tegninger er ikke altid i korrekt målestoksforhold, så vi kan ikke antage, at to trekanter er (eller ikke er) kongruente baseret på, hvordan de ser ud på tegningen. Det er især vigtigt, når vi forsøger at afgøre, om side-side-vinkel kriteriet virker. Hvis den kongruente vinkel er spids og tegningen ikke er i korrekt målestoksforhold, så har vi ikke nok information til at vide, om trekanterne er kongruente eller ej, uanset hvordan de ser ud på tegningen.

Tjek din forståelse

Opgave 1

Er trekanterne kongruente?
Trekanterne er ikke tegnet i korrekt størrelsesforhold.

Vil du træne flere opgaver som denne? Tjek denne øvelse.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.