Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 7

Modul 3: Cirklens udvidede ligning

Gennemgang af cirklens ligning

I denne artikel gennemgås cirklens ligning på standardform og udvidet form samt du har mulighed for at løse nogle opgaver med ligningen på begge former.

Hvad er cirklens ligning på standardform?

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

Når ligningen er på standardform, så ligger centrum i

(h, k)

og radius er

r

Ligningen kan også skrives på udvidet form, hvor de toleddede størrelser er ganget ud og de ens led efterfølgende er samlet.

Ligningen for cirklen med centrum i

(1, 2)

og radius på

3

skrives på standardform som

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}

. Dens udvidet form er:

\begin{aligned} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 3^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) & = 9 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 & = 0 \end{aligned}

Vil du lære mere om cirklens ligning? Tjek denne video.

Øvelse 1: Cirklens ligning på standardform

Opgave 1.1

(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 48

Hvad er centrum af cirklen?

(

,

)

Hvad er cirklens radius?
Hvis det er nødvendigt, afrund dit svar til to decimaler.

enheder

Vil du prøve flere opgaver som denne? Tjek denne øvelse og denne øvelse.

Øvelse 2: Skrive cirklens ligning på standardform

Opgave 2.1

En cirkel har en radius på

\sqrt{13}

enheder og centrum i

(- 9, 3; 4, 1)

Skriv ligningen for denne cirkel.

Vil du løse flere opgaver som denne? Tjek denne øvelse.

Øvelse 3: Cirklens ligning på udvidet form

Når ligningen er skrevet på udvidet form, så kan vi omskrive den til standardform ved at bruge metoden "kvadratkomplettering".

Nedenfor er vist et eksempel på at omskrive ligningen

x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 = 0

til standardform:

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x) + (y^{2} + 14 y) & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x + 81) + (y^{2} + 14 y + 49) & = - 105 + 81 + 49 \\ (x + 9)^{2} + (y + 7)^{2} & = 25 \\ (x - (- 9))^{2} + (y - (- 7))^{2} & = 5^{2} \end{aligned}

Nu kan vi se, at centrum af cirklen er

(- 9, - 7)

, og radius er

5

Opgave 3.1

x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 53 = 0

Hvad er centrum af denne cirkel?

(

,

)

Hvad er radius af denne cirkel?

enheder

Vil du prøve flere opgaver som denne? Tjek denne øvelse og denne øvelse.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.