If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 1

Modul 4: Drejninger
Matematik
Videregående geometri
Udførelse af transformationer
Drejninger
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Drejning af figurer omkring origo med et multiplum af 90°

Google Classroom
Lær hvordan du tegner billedet af en given figur efter en drejning omkring origo med ethvert multiplum af 90°.

Introduktion

I denne artikel skal vi øve os drejninger af figurer. Det betyder kort sagt, at vi skal lære at tegne billedet af en figur efter en given drejning.
Denne artikel fokuserer på drejninger med multipla af 90∘, både positive (mod uret) og negative (med uret).

Del 1: Drejning af punkter på 90∘, 180∘ og −90∘

Lad os kigge på et eksempel

Vi skal flytte punkt A(3,4) over i punkt A′ efter en drejning på 90∘ omkring origo.
Lad os starte med at visualisere opgaven. Positive drejninger er mod uret, så drejningen vil se således ud:
Et koordinatsystem uden markeringer. Et linjestykke med endepunkter i origo og punkt A er afbildet. Punkt A er mærket 3 komma 4. Punktet drejes mod uret halvfems grader, så A mærke nu ligger i anden kvadrant.
Cool, vi har anslået placeringen af A′. Lad os nu bestemme de nøjagtige koordinater. Der er to måder at gøre dette på.

Løsningsmetode 1: Den visuelle tilgang

Vi kan forestille os et rektangel, der har et hjørne ved origo og det modsatte hjørne ved A.
Et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Et rektangel med hjørner i origo, 0 komma 4, 3 komma 0 og 3 komma 4, som er mærket A.
En drejning på 90∘ svarer til at vippe rektanglet om på siden:
Et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Et rektangel med hjørner i origo, 0 komma 4, 3 komma 0 og 3 komma 4, som er mærket A. Rektanglet drejes 90 grader. Billedet er et rektangel med hjørner i origo, 0 komma 3, minus 4 komma 0 og minus 4 komma 3 som er mærket A mærke.
Efter en drejning er punkt A(3,4) flyttet over i punktet A′(−4,3).
Bemærk, at det er lettere at dreje de punkter, der ligger på akserne. Disse kan hjælpe os med at finde billedet af A:
Punkt(3,0)(0,4)(3,4)
Billede(0,3)(−4,0)(−4,3)

Løsningsmetode 2: Den algebraiske tilgang

Lad os se nærmere på punkterne A og A′:
Punktx-koordinaty-koordinat
A34
A′−43
Bemærk et interessant fænomen: x-koordinaten for A blev y-koordinaten for A′, og den modsatte y-koordinat for A blev x-koordinaten for A′.
Vi kan skrive dette matematisk på følgende måde:
R(0,0),90∘(x,y)=(−y,x)
Det viser sig, at dette er sandt for ethvert punkt, ikke kun vores A. Her er et par flere eksempler:
Et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Tre mærkede punkter ligger i 8 komma minus 1, minus 3 komma 4 og minus 3 komma minus 6. De drejes 90 grader mod uret og flyttes over i henholdsvis 1 komma 8, minus 4 komma minus 3 og 6 komma minus 3.
Det viser sig, at drejninger på 180∘ eller −90∘ følger lignende mønstre:
R(0,0),180∘(x,y)=(−x,−y)
R(0,0),−90∘(x,y)=(y,−x)
Vi kan bruge disse mønstre til at dreje ethvert punkt ved at indsætte koordinaterne i den relevante ligning.

Nu er det din tur!

Opgave 1

Tegn billedet af B(−7,−3) efter drejningen R(0,0),−90∘.

Opgave 2

Tegn billedet af C(5,−6) efter drejningen R(0,0),180∘.

Visuel eller algebraisk tilgang?

Du kan selv vælge, hvilken tilgang du fortrækker.
Den algebraiske tilgang tager mindre arbejde og mindre tid, men du skal huske ligningerne. Den visuelle tilgang er altid til din rådighed, men det kan tage dig længere tid at udføre.

Del 2: Udvide til ethvert multiplum af 90∘

Lad os kigge på et eksempel

Tegn billedet D′ af punktD(−5,4) efter en drejning på 270∘ omkring origo.

Løsning

Da en drejning på på 270∘ er det samme som en drejning på 90∘ tre gange, kan vi løse opgaven grafisk ved at udføre tre på hinanden følgende drejninger på 90∘:
Et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Et rektangel med hjørner i origo, 0 komma 4, minus 5 komma 0 og minus 5 komma 4 som er mærket D. Rektanglet drejes 90 grader og flyttes over i et rektangel mærket 1 med hjørner i origo, 0 minus 5, minus 4 komma 0 og minus 4 komma minus 5. Rektanglet drejes 90 grader igen og flyttes over i et rektangel mærket 2 med hjørner i origo, 0 komma minus 4, 5 komma 0 og 5 komma minus 4. Rektanglet drejes 90 grader en tredje gang og flyttes over i et rektangel mærket 3 med hjørner i origo, 0 komma 5, 4 komma 0 og 4 komma 5 som er mærket D mærke.
Men vent! I stedet for en drejning på 270∘ kunne vi have foretaget en drejning på −90∘. Disse to drejninger er tilsvarende. Du kan se det her:
Et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Et rektangel med hjørner i origo, 0 komma 4, minus 5 komma 0 og minus 5 komma 4 som er mærket D. Rektanglet drejes 90 grader med uret og flyttes over i et rektangel med hjørner i origo, 0 komma 5, 4 komma 0 og 4 komma 5 som er mærket D mærke.
Af samme grund kan vi også bruge ligningen R(0,0),−90∘(x,y)=(y,−x):
R(0,0),270∘(−5,4)=(4,5)

Lad os kigge på et eksempel mere

Vi skal finde billedet af punkt (−9,−7) efter en drejning på 810∘ omkring origo.

Løsning

En drejning på 810∘ er det samme som to på hinanden følgende drejninger på 360∘ efterfulgt af en drejning på 90∘ (fordi 810=2⋅360+90).
En drejning på 360∘ flytter ethvert punkt tilbage til sig selv. Med andre ord ændrer det ikke noget.
En drejning på 810∘ er derfor det samme som en drejning på 90∘. Derfor kan vi bruge ligningen R(0,0),90∘(x,y)=(−y,x):
R(0,0),810∘(−9,−7)=(7,−9)

Nu er det din tur!

Opgave 1

Tegn billedet af E(8,6) efter drejningen R(0,0),−270∘.

Opgave 2

Hvilken drejning er tilsvarende med drejningen R(0,0),−990∘?
Vælg 1 svar:

Del 3: Drejninger af polygoner

Lad os kigge på et eksempel

Lad os tegne billedet D′E′F′G′ af firkant DEFG efter drejningen R(−0,0),270∘.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Firkant D E F G er afbildet. Punkt D ligger i 5 komma 5. Punkt E ligger i 7 komma 6. Punkt F ligger i 8 komma minus 2. Punkt G ligger i 2 komma minus 2.

Løsning

Som med parallelforskydning, når vi drejer en polygon, behøver vi kun at udføre drejningen for alle hjørner, hvorefter vi kan forbinde hjørnerne for at finde billedet af polygonen.
Et koordinatsystem med alle fire kvadranter. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Firkant D E F G er afbildet. Punkt D ligger i 5 komma 5. Punkt E ligger i 7 komma 6. Punkt F ligger i 8 komma minus 2. Punkt G ligger i 2 komma minus 2. Firkanten drejes 270 grader mod uret og flyttes over i en firkant med hjørner i D mærke i 5 komma minus 5, E mærke i 6 komma minus 7, F mærke i minus 2 komma minus 8 og G mærke i minus 2 komma minus 2.

Nu er det din tur!

Tegn billedet af △HIJ efter drejningen R(0,0),90∘.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.