Addition og subtraktion af rationale udtryk

Et rationalt udtryk er et forhold mellem to polynomier.

Vi kan addere eller subtrahere to rationale udtryk med samme nævner, ved blot at addere eller subtrahere tællerne og skrive resultatet over fællesnævneren.

Når nævnerne ikke er ens, skal vi omskrive dem, så de bliver ens. Vi skal med andre ord bestemme en fællesnævner.

Hvis dette er nyt for dig, kan du tjekke følgende artikler først:

I dette modul kan du øve dig i at addere og subtrahere rationale udtryk med forskellige nævnere. Du vil bruge mindste fællesnævner som din fællesnævner i disse eksempler og undersøge, hvorfor det er en god ide.

For at subtrahere to rationale udtryk, skal hver brøk have samme nævner.

I dette eksempel, kan vi få en fællesnævner ved at gange den første brøk med $\left({\displaystyle \frac{x+1}{x+1}}\right)$‍ og den anden brøk med $\left({\displaystyle \frac{x-2}{x-2}}\right)$‍.

Derefter kan vi subtrahere tællerne og skrive resultatet over fællesnævneren.

Nogle gange er nævnerne i to brøker forskellige, men har nogle fælles faktorer.

Lad os kigge på dette udtryk ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$‍:

Bemærk at fællesnævneren i dette eksempel ikke var produktet af de to individuelle nævnere ($24$‍). I stedet var det mindste fælles multiplum af $4$‍ og $6$‍ ($12$‍).

Det mindste fælles multiplum af nævnerne i to eller flere brøker kaldes den mindste fællesnævner.

Lad os bruge samme metode til følgende udtryk:

Lad os først bestemme mindste fællesnævner:

Mindste fællesnævner er $(x-2)(x+1)(x+3)$‍.

Vi kan nu addere det rationale udtryk:

Du undrer dig måske over, hvorfor det er så vigtigt at bruge mindste fællesnævner til at addere eller subtrahere rationale udtryk.

Det er trods alt ikke et krav, og det er nemt nok at bruge andre nævnere, når vi arbejder med tal-brøker.

I tabellen nedenfor udregnes ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$‍ ved hjælp af to forskellige fællesnævnere: den ene ved hjælp af mindste fællesnævner ($12$‍) og den anden ved hjælp af produktet af de to nævnere ($24$‍).

Bemærk, når du bruger $24$‍ som fællesnævner, så skal du udføre flere omskrivninger. Tallene var større og den resulterende brøk skulle reduceres.

Dette vil også ske, hvis du ikke bruger mindste fællesnævner, når du adderer eller subtraherer rationale udtryk.

Men med rationale udtryk, er denne proces meget vanskeligere, fordi tællere og nævnere vil være polynomier i stedet for heltal! Du bliver nødt til at udføre aritmetik med højere grader polynomier og faktororisere polynomier for at reducere brøken.

Dette ekstra arbejde kan undgås, når vi bruger mindste fællesnævner, når vi adderer eller subtraherer rationale udtryk.