Løsninger til ligningerne cos(θ)=1 og cos(θ)=-1

I grafen nedenfor for hvilke værdier af θ er cos(θ) =1 ? og for hvilke værdier af θ er cos(θ) = -1 ? De har givet os en pæn graf, hvor den vandrette akse er θ og den lodrette akse er y-aksen og dette er grafen for y er lig cosθ. Den passer med enhedscirklens definition, men jeg vil lige sikre mig, at vi har styr på det. -- lad mig lige tegne en enhedscirkel og jeg skitserer den blot, så vi kan huske, hvad den går ud på -- Når θ er lig 0, så er vi i dette punkt på enhedscirklen. Hvad er x-koordinaten af dette punkt? Den er 1. Du kan se, når θ er lig 0 på denne graf, så er cos(θ) lig 1. Når θ er lig 𝜋/2, så er vi i dette punkt på enhedscirklen og hvad er x-koordinaten? x-koordinaten er 0. Igen, når vi er ved 𝜋/2, så er x-koordinaten 0, så det stemmer helt overens med vores enhedscirkel definition. Når vi går mod højre, så bevæger vi os mod uret på enhedscirklen og når vi går mod venstre, så går vi med uret og har negative vinkler på enhedscirklen. Lad os besvare deres spørgsmål. For hvilke værdier af θ er cos(θ) lig 1? Vi kan blot aflæse grafen. Her er den 1, så cos(θ) er lig 1 Det kan vi se lige her. θ er lig 0, og vi skal gå helt hen til 2𝜋. Og så fortsætter den bare. Men det giver mening, da x-koordinaten på denne enhedscirkel er lig 1 ved denne vinkel på 0 og vi skal gå hele vejen rundt om cirklen for at komme til 2𝜋 radianer. Den har værdien igen, når vi kommer til 4𝜋 radianer og 6𝜋 radianer, så 2𝜋, 4𝜋, 6𝜋 og jeg tror, du kan se mønstret. Vi vil ramme cos(θ) er lig 1 for hver 2𝜋, så man kan se disse som multipla af 2𝜋 n, hvor n er et heltal. Det gælder også for negative værdier. Hvis vi går den anden vej rundt så er vi ikke tilbage før ved -2𝜋. Vi var ved 0 og næste gang den er 1, så er vi ved -2𝜋. og så -4𝜋 og så videre og så videre. Men dette gælder kun, hvis n er et heltal. n kan være et negativt tal og så får vi alle de negative værdier af θ, hvor cos(θ) er lig 1. Lad os se, hvornår cos(θ) er -1? cos(θ) = -1, når θ er lig... Lad os se på grafen her. Når θ er lig 𝜋 og ja så, går vi godt nok en smule ud af grafen, men grafen fortsætter på samme måde. Det vil også være ved 3𝜋. Du kan visualisere det her over. cos(θ) er lig -1, når vi er i dette punkt på enhedscirklen. Det sker, når vi går hen til 𝜋 radianer og det sker ikke igen, før vi er ved 3𝜋 radianer og vi skal gå 2𝜋 før det sker igen. Lægger endnu 2𝜋 til. Vi skal gå en hel omgang, så vi er ved 5𝜋 radianer. Og vi kan forsætte. Det er også sandt i den negative retning. Hvis vi fjerner 2𝜋 fra dette. Hvis vi her og går den anden vej rundt tilbage til -𝜋, så vil det også være sandt og du kan se det her på grafen. Du kan se på dette som 2𝜋∙n + 𝜋 eller du kan se på det som (2n +1)𝜋, hvor n er et heltal. I hvert af disse punkter eller disse θ'er vis cos(θ) være -1. Du kan se, den går fra en dal til den næste dal. Det tager 2𝜋, at komme til den næste dal og 2𝜋 til den næste dal. Det samme gælder for toppene. Det tog 2𝜋 at gå fra den ene top til den næste og igen 2𝜋 til den næste top.