If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 5

Modul 2: Positive og negative intervaller for polynomier
Matematik
Algebra 2
Grafer for polynomier
Positive og negative intervaller for polynomier
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Positive og negative intervaller for polynomier

Google Classroom
Lær om sammenhængen mellem nulpunkterne i et polynomium og de intervaller, hvor det er positivt og negativt.

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Nulpunkterne i polynomiet f svarer til skæring med x-aksen af grafen for ligningen y=f(x).
Lad os se på et eksempel. Da funktionen f(x)=(x+3)(x−1)2 har nulpunkterne −3 og 1, så vil grafen for ligningen, y=f(x), have skæring med x-aksen i punkterne (−3,0) og (1,0).
Hvis dette er nyt for dig, så læs artiklen Nulpunkter i polynomier og deres grafer.

Hvad du kan lære i dette modul

Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 3 komma 0 og 1 komma 0.
Selvom skæring med x-aksen er en vigtig egenskab at kende, så er det ikke nok information til at kunne skitsere grafen for en funktion.
Det hjælper at kende funktionens fortegn mellem to nulpunkter, når grafen skal skitseres.
I denne artikel skal vi lære at lave en fortegnsundersøgelse, der viser i hvilke intervaller funktionsværdien af polynomiet er negativ eller positiv, samt hvordan dette kan bruges til at skitsere grafen for funktionen.

Positive og negative intervaller

Funktionsværdien mellem to på hinanden følgende nulpunkter er altid enten positiv eller negativ i hele dette interval.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. Tre punkter er afbildet. De ligger alle på x aksen og er mærket minus 1 komma 0 og 1 komma 0 og 3 komma 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt. En graf mærket y er lig med f af x er vist. Grafen kommer op fra venstre går gennem minus 1 komma 0 vender og går nedad gennem 1 komma 0 vender igen og går gennem 3 komma 0. Fra minus uendelig til minus 1 ligger grafen under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra minus 1 til 1 ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn. Fra 1 til 3 ligger grafer under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra 3 til uendelig ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn.
Lad os se på grafen for funktionen f(x)=(x+1)(x−1)(x−3).
Vi kan se, at funktionsværdien for f(x) er ...
  • ...negativ i hele intervallet −∞<x<−1.
  • ...positiv i hele intervallet −1<x<1.
  • ...negativ i hele intervallet 1<x<3.
  • ...positiv i hele intervallet 3<x<∞.
Det er dog vigtigt at huske, et polynomium ikke nødvendigvis skifter fortegn mellem to nulpunkter.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 2 komma 0 og 0 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt. En graf mærket y er lig med g af x er vist. Grafen kommer op fra venstre rører x aksen ved minus 2 komma 0 vender og går nedad, vender igen og går opad gennem 0 komma 0. Fra minus uendelig til minus 2 ligger grafen under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra minus 2 til 0 ligger grafen stadig under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra 0 til uendelig ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn.
Lad os se på grafen for funktionen g(x)=x(x+2)2.
Vi kan se, at funktionsværdien for g(x) er...
  • ...negativ i hele intervallet −∞<x<−2.
  • ...negativ i hele intervallet −2<x<0.
  • ...positiv i hele intervallet 0<x<∞.
Funktionsværdien for g(x) skifter altså ikke fortegn ved x=−2.

Fortegnsundersøgelse af et polynomium

Lad os bestemme i hvilke intervaller fortegnet for funktionsværdien af f(x)=(x+3)(x−1)2 er positivt og i hvilke det er negativt.
Funktionen f har nulpunkterne −3 og 1 og danner derfor tre intervaller. I hvert af disse intervaller er fortegnet for funktionsværdien af f konstant:
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 3 komma 0 og 1 komma 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt og opdeler x aksen i tre intervaller. Fra venstre mod højre er de mærket x er større end minus uendelig og mindre end minus 3. x er strørre end minus 3 og mindre end 1. x er større end 1 og mindre end uendelig.
Lad os bestemme fortegnet af f i intervallet −∞<x<−3.
Fortegnet er enten positivt eller negativt i hele intervallet, så vi kan bestemme fortegnet ved at indsætte en enkelt værdi fra intervallet i funktionsforskriften for f. Da −4 ligger i intervallet, lad os finde f(−4).
Da vi kun er interesseret i fortegnet, behøver vi ikke lave hele udregningen:
f(x)=(x+3)(x−1)2f(−4)=(−4+3)(−4−1)2=(−)(−)2Bestem fortegnet for hver parentes.=(−)(+)Kvadratet på en negativ størrelse er positivt.=−Negativ gange positiv er negativ.
Da f(−4) er negativ, så er f(x) negativ i hele intervallet−∞<x<−3.
Vi kan lave den samme analyse af de andre intervaller.
Funktionens fortegnsvariation kan ses i tabellen nedenfor.
IntervalBeregnet funktionsværdi for f(x)Fortegn for fBeliggenhed af grafen forf
−∞<x<−3f(−4)<0negativtUnder x-aksen
−3<x<1f(0)>0positivtOver x-aksen
1<x<∞f(2)>0positivtOver x-aksen
Tabellens indhold stemmer overens med grafen for y=f(x).
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 3 komma 0 og 1 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt. En graf kommer op fra venstre går gennem minus 3 komma 0 vender og går nedad rører x aksen ved 1 komma 0, vender og går opad. Fra minus uendelig til minus 3 ligger grafen under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra minus 3 til 1 ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn. Fra 1 til uendelig ligger grafen stadig over x aksen og er mærket med et plus tegn.

Tjek din forståelse

1) g(x)=(x+1)2(x+6) har nulpunkter ved x=−6 og x=−1.
Hvilket fortegn har funktionsværdien af g i intervallet −6<x<−1?
Vælg 1 svar:

2) h(x)=(3−x)(x+5)(x−2) har nulpunkter ved x=−5, x=2 og x=3.
Hvilket fortegn har funktionsværdien af h(x) i intervallet −5<x<2?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave

3*) Hvilken af følgende grafer kunne være grafen for g(x)=(x−2)2(x+1)3?
Vælg 1 svar:

Bestemme positive og negative intervaller ved grafisk aflæsning

I stedet for en fortegnsundersøgelse kan man også finde de positive og negative intervaller ved grafisk aflæsning. Grafen kan laves ved at bruge viden om funktionens opførsel i plus og minus uendelig samt nulpunkternes multiplicitet.
Du kan læse mere i vores artikel Grafer for polynomier.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.