Nulpunkter i polynomier (multiplicitet)

Okay, lad os lave denne sammen. Vi kan se, at alle svarmulighederne er et polynomium skrevet på faktoriseret form. Den faktoriseret form er nyttig, når vi skal kigge rødderne i et polynomium, de x-værdier, der gør polynomiet lig 0. Rødderne kan også ses på denne graf. Vi har en rod ved x er lig -4. En rod ved x er lig -1,5 eller -3/2. Og en rod ved x er lig 1. Vi skal altså bestemme, hvilke faktorer der passer med de rødder vi ser? Lad os gennemgå dem en af gangen. Her til venstre har vi roden x er lig -4. For at et polynomium kan være 0, når x er lig -4, så skal (x + 4) være en faktor, eller et multiplum af eller konstant gange med (x + 4) skal være en faktor i vores polynomium. Vi kan se på mulighederne, at vi har en del (x + 4)'ere, men de har forskellige eksponenter. Den første har eksponenten 2, så den kvadreres, og de andre har eksponenten 1. Vi har snakket om det før i forbindelse med multiplicitet. Hvis fortegnet ændres ved en rod, som vi ser her ved x er lig -4, så skal der være en ulige eksponent ved den tilhørende faktor. Hvis vi ikke ændrer fortegn, som ved denne rod, så skal der være en lige eksponent. Vi kan tydeligvis se, at fortegnet ændres, så vi skal lede efter en ulige eksponent. 1 er naturligvis ulige og 2 er ikke. Hvis vi har (x + 4), så vil fortegnet ændres ved x er lig -4. Så jeg kan fjerne den første mulighed, og de tre andre ser stadig gode ud, når vi kun ser på faktoren (x + 4). Lad os kigge på den næste faktor, eller næste rod. Den næste rod er x er lig -3/2. Vi kan derfor have en faktor som (x + 3/2) eller den gange en konstant. Hvis vi ser på mulighederne, så ser jeg ikke (x + 3/2), men der noget der indeholder en 2'er og en 3'er. Man kan sige, hvis jeg ganger denne med 2, så får vi (2x + 3), som jeg ser her. Næste spørgsmål er så, hvad skal eksponenten være? Fortegnet ændres igen her ved x er lig - 3/2, så vi skal lede efter en ulige eksponent. Kun to af mulighederne har eksponenten 1, som er et ulige tal, mens den anden har en lige eksponent, så den kan vi fjerne. Så ser vi på den sidste rod. -- lad os lave den i orange -- Vi har en rod ved x er lig 1, så vi skal kigge efter faktoren (x - 1) eller denne ganget med en konstant. Vi ser ikke en ændring af fortegnet ved x er lig 1, så vi skal lede efter en lige eksponent. Ud af de tilbageværende muligheder har vi (x -1) i dem begge, men kun mulighed C har en lige eksponent. Derfor ser mulighed C god ud. Hvis vi ser på mulighed D, hvor faktoren er i første potens, så betyder det en ændring i fortegn ved x er lig 1. I denne situation vil kurven fortsætte nedad, nogenlunde sådan her. Så vi vælger mulighed C. Lad os lave endnu et eksempel. Vi bliver igen spurgt, "Hvad kan være forskriften for p?" og vi har fået en graf. Sæt videoen på pause og prøv selv at lave den. Okay, vi skal gøre det samme. Lad os se på den første rod. Vi har en rod ved x er lig -3. Vi kan derfor forvente at et multiplum af (x + 3) er en af faktorerne. Vi ser en ændring af fortegn ved x lig -3. Vi skal lede efter en ulige multiplicitet, og derfor en ulige eksponent på faktoren (x + 3). Når vi kigger på svarmulighederne, så har C og D lige eksponenter. Hvis du har (x + 3)⁴, så vil der ikke være en ændring i fortegn her. Grafen vil blot rører x-aksen og så gå nedad igen. Vi kan derfor fjerne disse to muligheder. Lad os se på den anden rod. Lige her har vi x er lig 2. Derfor kigger vi efter (x - 2), som en faktor eller et multiplum af den. Da der ikke er en ændring af fortegn ved x er lig 2, grafen rører blot x-aksen, og går opad igen, så skal vi lede efter en lige eksponent. Når vi kigger på mulighederne med faktoren (x - 2), så har kun en af dem en lige eksponent. Jeg syntes bedst om mulighed B. Og vi er færdige.