Multiplicitet af nulpunkter i polynomier

Vi har her to forskellig polynomier P₁ og P₂. De er begge skrevet på faktoriseret form, og du kan også se deres grafer. Det er grafen af y er lig P₁ af x med blåt og grafen af y er lig P₂ af x med hvidt. I denne video skal vi fortsætte med nulpunkter, men vi skal se på noget spændende, der kan ske med nulpunkter. Lad os først se på nulpunkterne i P₁. Jeg laver denne lille tabel, da den bliver nyttig. I den første søjle har vi nulpunkterne. De x-værdier, hvor polynomiet er lig 0. Det er nemt at finde ud af fra den faktoriseret form. Når x er lig 1, så bliver det hele lig 0, da 0 gange noget er 0. Når x er lig 2 og af samme årsag, og når x er lig 3. Vi kan ser på grafen ved x lig 1, der skærer grafen for y er lig P₁ x-aksen. Det gør den igen ved det næste nulpunkt i x lig 2 og i det næste nulpunkt ved x er lig 3. Vi kan også se den egenskab at mellem to på hinanden følgende nulpunkter har polynomiet det samme fortegn. Før det første nulpunkt er det negativt og mellem de to første er det positivt. Mellem de to næste er det negativt, og derefter er det positivt. Hvad med P₂? P₂ er spændende, fordi hvis du omskriver det, vil det have samme grad som P₁. I begge tilfælde er det et x³-led, så det er et tredjegradspolynomium. Men hvor mange forskellige nulpunkter har P₂? Sæt videoen på pause og tænk lidt over det. Lad os skrive dem alle sammen. Vores nulpunkter. Hvis x er 1, så bliver hele dette udtryk lig 0. VI har et nulpunkt ved x er lig 1. Vi kan se, at den hvide graf skærer x-aksen ved x er lig 1. Hvis x er lig 3, så bliver alt dette lig 0. Vi kan se at den rører x-aksen ved x er lig 3. Den næste del af udtrykket siger, vi har et nulpunkt ved x lig 3, men det har vi jo allerede sagt. Så vi har kun to nulpunkter for dette tredjegradspolynomium. Og nu sker der noget spændende. Det er ikke blot for at understrege, at der er et nulpunkt ved x lig -3, At flere dele af den faktoriseret form har samme nulpunkt kaldes for multiplicitet. Lad mig lige skrive det ord ned. Multiplicitet. Hvert af disse nulpunkter har en multiplicitet på 1. De forekommer kun en gang, når du kigger på den faktoriseret form. Èn faktor for hvert af disse nulpunkter. De har alle en multiplicitet på 1. For P₂ gælder, at det første nulpunkt har en multiplicitet på 1. Der er kun ét af disse udtryk, der giver nulpunktet 1, altså bliver 0, hvis x er lig 1. Men to af disse faktorer på faktoriseret form bliver 0, når x er lig 3. Den og den bliver 0, så vi har en multiplicitet på 2. Jeg opfordrer dig igen til at sætte videoen på pause og kigge på de to grafers opførsel. Kan du se en forskel på deres opførsel, når vi har en multiplicitet på 1 og når vi har en multiplictet på 2. Okay, lad os kigge på det sammen. Lad os se på P₁, hvor alle nulpunkterne har en multiplicitet på 1. Hver gang vi har et nulpunkt, der krydser vi x-aksen. Ikke kun skærer vi x-aksen, vi krydser den. Vi krydser den her, krydser den igen og endnu engang. Hver gang ændrer polynomiet fortegn. Men hvad sker der her? Ved det første nulpunkt, der har en multiplicitet på 1, så der kun er en faktor der bliver 0, der ændres fortegnet ligesom vi så med P₁. Hvad sker der ved x lig 3, hvor vi har en multiplicitet på 2? Vi skærer stadig x-aksen. P af 3 er lig 0, men vi skifter ikke fortegn. Vi er positive før og vi er positive efter. Vi rører x-aksen lige der, men så går vi op igen. Sådan er det generelt. Jeg opfordrer dig til at prøve det og overveje, hvorfor det er sådan. Hvis du har en ulige multiplicitet -- jeg må skrive det ned -- Ved en ulige multiplicitet, som 1, 3, 5, 7 osv. der ændrer vi fortegn. Ved en lige multiplicitet, som 2, 4 eller 6, der ændrer vi ikke fortegn. Man kan tænke på det således, når multipliciteten er 2, og vi kan bruge dette nulpunkt, hvor x er 3. Når x er mindre end 3, så er begge disse negative. Negativ gange negativ er positiv. Når x er større end 3, så er de begge positive, og du får en positiv værdi. Altså ingen ændring af fortegn. Man kan sammenligne antallet af nulpunkter med polynomiet grad. Antallet af nulpunkter kan højest være lig med graden af polynomiet. Antallet er mindre end eller lig med graden af polynomiet. Og hvorfor? Hvis alle nulpunkter har en multiplicitet på 1, så er antallet af nulpunkter lig graden af polynomiet. Hvis der er et nulpunkt med en højere multiplicitet, så har du færre forskellige nulpunkter. Man kan også sige, hvis du lægger nulpunkternes multiplicitet sammen så bliver summen lig med graden af polynomiet.