Hovedindhold
Emne: (Videregående geometri > Emne 3
Modul 2: Kongruens i trekanter ud fra transformationer- Bevis for SSS kongruens i trekanter ved hjælp af stive flytninger
- Bevis for SVS kongruens i trekanter ved hjælp af flytninger
- Bevis for VSV og VVS kongruens ved hjælp af transformationer
- Hvorfor SSV ikke er en del af kongruenssætningerne
- Redegør for at trekanter er kongruente
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse
Bevis for VSV og VVS kongruens ved hjælp af transformationer
Vi kan bevise kongruenssætningerne vinkel-side-vinkel (VSV) og vinkel-vinkel-side (VVS) ved hjælp af den definition af kongruens, der bruges ved stive transformationer (flytninger). Lavet af Sal Khan.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.
Video udskrift
I denne video skal vi bevise, når vi har to forskellige trekanter, der har et par af sider med samme længde, altså den blå side i begge trekanter
har samme længde, og de har to par af vinkler, hvor hvert par af tilsvarende
vinkler er lige store, så den grå vinkel er lige stor
som den grå vinkel her og denne vinkel med to orange buer,
vinkel ACB, har samme størrelse som vinkel DFE. Vi skal bevise,
når du har to vinkler og en side, der er parvis lige store, så kan vi altid lave et forløb
af stive transformationer, der kan flytte den ene trekant
over i den anden. Derfor er trekanterne kongruente ud fra definitionen af kongruens
med stive transformationer. Grunden til jeg har skrevet
vinkel side vinkel (VSV) og vinkel vinkel side (VVS) er at de betyder det samme. Når du kender to vinkler,
så kender du også den tredje. I denne situation har vi to par vinkler,
parvis med samme størrelse. Det betyder, at det tredje par af vinkler
også er lige store. Når du kender siden mellem to vinkler,
så svarer det til at kende VVS. Fordi, når to par af vinkler er det samme,
så er den tredje vinkel også den samme som den tilsvarende tredje vinkel
i den anden trekant. Lad os vise, at der er et forløb
af stive transformationer, som kan flytte ABC over i DEF. I det første trin,
som du måske allerede har gættet, bruger vi, at to linjestykker med
samme længde er kongruente. Et forløb af stive transformationer
kan flytte det ene over i det andet. Jeg vil flytte linjestykke AC over i DF. Det kan jeg gøre med en
parallelforskydning af punkt A over i punkt D
og kalde det A'. Når jeg har gjort det vil linjestykke AC se
nogenlunde således ud. Jeg skitserer det blot. Det vil gå i denne retning. Og resten af trekant vil følge med. Den orange side AB
vil være nogenlunde her. Men vi kan lave endnu
en stiv transformation. En drejning omkring punkt D eller A', de er jo nu samme punkt, som flytter punkt C over i punkt F. Efter to stive transformationer
har du flyttet AC over i DF. A', hvor A er flyttet hen, svarer nu til D
og F svarer til C'. Men hvor er punkt B? Det er vigtigt at huske på,
at vinklen er bevaret. Da vinklen er bevaret,
så kan vi have en situation, hvor vinkel CAB er bevaret og B'
derfor ligger et sted på denne halvlinje, for at vinkel C'A'B' kan blive bevaret. En vinkel er
defineret af to halvlinjer, der skærer hinanden i vinkelspidsen
eller starter i en vinkelspids. Og da vinkel ACB er bevaret, den vinkel
der er dannet af disse to halvlinjer, du kan kalde dem halvlinje CA
og halvlinje CB, så ved vi, at B' også
ligger på denne halvlinje. Og jeg tror du ved,
hvor det bærer hen. Da disse to vinkler, BAC
og ACB, er bevaret, så skal B' ligge på begge halvlinjer. De skærer hinanden i et punkt,
et punkt der ligger i punkt E. Derfor må B' også ligge der. Det er en mulighed. I så fald har vi vist, at der er et
forløb af stive transformationer der flytter denne trekant
over i den trekant. Der er en anden mulighed. Der er et andet tilfælde,
hvor vinkler bliver bevaret. I stedet for at vinklerne
ligger til højre for, kan man vel sige,
af denne blå linje, så kan vinklerne være på den anden side. Vinklerne er stadig bevaret, men de ligger på den anden
side af den blå linje. Hvor ligger B' så? Lad mig gøre dette en smule mere præcist. Jeg kopierer disse vinkler. Lad mig lave en cirkelbue
og så måler jeg afstanden. Vi har gjort det i andre videoer,
hvor vi har kopieret vinkler. Det ligger med denne afstand
og lad mig tegne punktet. Hvis vinklerne ligger på den anden
side af linje DF eller A'C', så ved vi, at B' ligger
et sted på denne halvlinje. Lad mig tegne den så pænt som muligt. Et sted på denne halvlinje. Og B' skal ligge et sted på den halvlinje,
der danner den anden vinkel. Jeg prøver at lave den så pænt som muligt. Jeg laver en cirkelbue. Jeg lavede den lidt større end nødvendigt,
men forhåbentlig er det godt nok. Jeg har målt afstanden her. Når jeg måler afstanden her,
så kommer vi herhen. B' skal ligge på denne halvlinje
og på den halvlinje. De to halvlinjer skærer hinanden lige der. I den anden situation
er vinklerne bevaret, så de ligger på den anden
side af den blå linje og B' ligger her. Nu skal vi blot tilføje en
stiv transformation til vores forløb. En spejling over linje DF eller A'C'. Hvorfor flytter det B' over i E? En spejling er en stiv transformation,
så vinklerne er bevaret. Når den vinkel vendes over,
så bevares den. Når denne vinkel vendes over,
så bevares dens størrelse. Det betyder vi er tilbage
i den første situation, da disse halvlinjer bliver vendt
over i disse halvlinjer og B' må ligge i skæringspunktet. Sådan. Når du kender to vinkler, og dermed også den tredje, så du kender to vinkler og en side,
der har samme vinkelmål og længde, så betyder det,
at trekanterne er kongruente.