Hovedindhold

Hvad er position vs. tidsgrafer?

Her kan du se, hvad vi kan lære af positionsgrafer.

Hvorfor er position vs. tidsgrafer nyttige?

Mange mennesker har det med grafer som de har det med at gå til tandlægen: en vag følelse af angst og et stærkt ønske om at oplevelsen er slut så hurtigt som muligt. Men positionsgrafer kan være smukke, og de er en effektiv måde at visuelt repræsentere en enorm mængde af information om bevægelsen af et objekt på meget lidt plads.

Hvad repræsenterer den lodrette akse på en positionsgraf?

Den lodrette akse repræsenterer objektets position. For eksempel hvis du aflæser værdien af grafen nedenfor på et bestemt tidspunkt, vil du få objektets position i meter.

Prøv at flytte prikken vandret på grafen nedenfor for at vælge forskellige tidspunkter og se, hvordan positionen ændres.

I følge grafen, hvad er objektets position til tidspunktet $t = 5$ ‍ sekunder?

Hvad repræsenterer hældningen på en positionsgraf?

Hældningen af grafen repræsenterer objektets hastighed. Værdien af hældningen på et vilkårligt tidspunkt repræsenterer hastigheden af objektet i det øjeblik.

Lad os bestemme hældningen af positionen vs. tidsgrafen vist nedenfor:

I matematik bliver den lodrette akse, den afhængig variabel, normalt kaldt

y

, og den vandrette akse, den uafhængig variabel, bliver kaldt

x

Men i fysik sætter vi næsten altid tiden

t

, på den vandrette akse som den uafhængige variabel. Det betyder, at enhver anden variabel må være på den lodrette akse, herunder

x

, selv når den, som ofte, repræsenterer den vandrette position.

Dette er ganske vist lidt forvirrende, hvordan kan den vandrette forskydning

x

sættes på en lodret akse. Men dette er den konvention, som næsten alle fysikbøger, kurser, og professorer bruger. Det giver også mening, da tid bedst betragtes som en uafhængig variabel, da vi ikke styrer tidens gang... medmindre du har fundet nøglen til en tidsmaskine i din baglomme og så er du nok allerede langt foran os med din forståelse af tid og rum!

hældning = \frac{stigning}{fremdrift} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

Dette udtryk for hældning er det samme som definitionen af hastighed:

v = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

. Derfor svarer hældningen af en positionsgraf til hastigheden.

Dette gælder også for en positionsgraf, hvor hældningen ændrer sig. I grafen for position vs. tid nedenfor, viser den røde linje hældningen på et bestemt tidspunkt. Når prikke flyttes, kan du se, hvordan grafens hældning og dermed hastigheden ændres.

Hældningen af kurven mellem tiden

t = 0 s

t = 3 s

er positiv, da hældningen er rettet opad. Det betyder, at hastigheden er positiv, og objektet bevæger sig i den positive retning.

Hældningen på kurven er negativ mellem

t = 3 s

t = 9 s

, da hældningen er rettet nedad. Det betyder, at hastigheden er negativ og objektet bevæger sig i den negative retning.

Til tiden

t = 3 s

, er hældningen nul, da den linje, der repræsenterer hældningen, er vandret. Det betyder, at hastigheden er nul og objektet er momentant i hvile.

I følge grafen ovenfor, hvad er hastigheden af objektet ved $t = 9 s$ ‍?

En ting mere man skal huske på er, at hældningen af en positionsgraf til enhver tid giver den øjeblikkelige hastighed på det pågældende tidspunkt. Den gennemsnitlige hældning mellem to punkter på grafen svarer til den gennemsnitlige hastighed mellem disse to tidspunkter. Den øjeblikkelige hastighed behøver ikke at svare til den gennemsnitlige hastighed. Men hvis hældningen er konstant i en periode (dvs. grafen er et lige linjestykke), så er den øjeblikkelige hastighed lig med den gennemsnitlige hastighed i denne periode.

Hvad betyder krumningen på en positionsgraf?

Kig på grafen nedenfor. Den ser krum ud da den ikke bare er lavet af lige linjestykker. Hvis en positionsgraf er buet, vil hældningen ændre sig, hvilket også betyder at hastigheden ændrer sig. Ændring af hastighed indebærer acceleration. Så krumning på en graf betyder, at objektet accelererer og ændrer hastighed/hældning.

På grafen nedenfor vil hældningen ændre sig, når du bevæger prikken vandret. Den første krumning mellem

1 s

5 s

repræsenterer negativ acceleration, da hældningen går fra positiv til negativ. For det andet bump mellem

7 s

11 s

, er accelerationen positiv, da hældningen går fra negativ til positiv.

I følge grafen ovenfor, hvad er accelerationen af objektet ved $t = 6 s$ ‍ ?

For at opsummere, hvis krumningen af positionsgrafen ligner en en skål der vender på hovedet, vil accelerationen være negativ. Hvis krumningen ligner en skål, der vender opad, vil accelerationen være positiv. Her er en måde at huske det på: Hvis din skål er på hovedet, vil al din mad falde ud, og det er negativt. Hvis din skål vender opad, vil al din mad blive i den, og det er positivt.

Nej, desværre. En kurve der ligner en omvendt skål betyder, at accelerationen er negativ, men det betyder ikke nødvendigvis, at objektet bevæger sig langsommere.

Ved det første krumning på grafen ovenfor er hastigheden positiv ved

1 s

, og hældningen bliver nul ved

3 s

. Det betyder, at objektet blev langsommere mellem

1 s

3 s

. Hvis du fortsætter med at analysere denne krumning bliver hældningen negativ efter

3 s

. Det betyder, at objektet satte farten op, da det gik fra nul hastighed til en negativ hastighed.

Begge sider af den omvendte skål viser en negativ acceleration. På den venstre side betyder det, at objektet bevæger sig mere og mere langsomt i den positive retning. På den højre side betyder det, at objektet bevæger sig i den negative retning, men sætter farten op.

En anden måde at tænke på alt dette er, at hvis grafen bliver mindre stejl, bliver objektet langsommere. Hvis grafen bliver mere stejl, bliver objektet hurtigere.

Hvordan ser løste opgaver med position vs. tidsgrafer ud?

Opgave 1: Sulten hvalros

Grafen nedenfor viser bevægelsen af en sulten hvalros, der gå vandret frem og tilbage på udkig efter mad. Den vandrette position

x

er en funktion af tiden

t

Hvad var den øjeblikkelige hastighed af hvalrosen på følgende tidspunkter: $2 s$ ‍, $5 s$ ‍ og $8 s$ ‍?

Find hastigheden efter $2 s$ ‍:

Vi kan finde hvalrosens hastighed ved

t = 2 s

ved at bestemme hældningen for grafen ved

t = 2 s

hældning = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (brug formlen for hældning)

Vi kan bruge to vilkårlige punkter mellem

0 s

4 s

, da de alle ligger på den samme linje. Lad os derfor vælge to punkter, der er nemme at aflæse. Vi vælger punkterne

(0 s, 1 m)

(4 s, 3 m)

. Vi skal indsætte det senere tidspunkt som punkt 2 og det tidligere tidspunkt som punkt 1.

hældning = \frac{3 m - 1 m}{4 s - 0 s} (vælg to punkter og indsæt x værdierne i tælleren og t værdierne i nævneren)

hældning = \frac{2 m}{4 s} = \frac{1}{2} m/s (udregn og klap dig selv på skulderen)

Hvalrosens hastighed efter

2 s

var

0, 5 m/s

Find hastigheden efter $5 s$ ‍:

For at finde hastigheden ved

5 s

, skal vi bare lægge mærke til, at grafen er vandret. Da grafen er vandret, er hældningen lig med nul, hvilket betyder, at hvalrosens hastighed efter

5 s

var

0 m/s

Find hastigheden efter $8 s$ ‍:

hældning = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (brug formlen for hældning)

Vi kan igen vælge vilkårlige punkter på det sidste linjestykke. Vi vælger punkterne

(6 s, 3 m)

(9 s, 0 m)

hældning = \frac{0 m - 3 m}{9 s - 6 s} (vælg to punkter og indsæt x værdierne i tælleren og t værdierne i nævneren)

hældning = \frac{- 3 m}{3 s} = - 1 m/s (udregn og klap dig selv på skulderen)

Hvalrosens hastighed efter

8 s

var

- 1 m/s

Opgave 2: Glad fugl

Grafen nedenfor viser bevægelsen af en ekstraordinært jublende fugl, der flyver lige op og ned. Den lodrette position

y

er en funktion af tiden

t

Hvad var den gennemsnitlige hastighed af fuglen mellem $t = 0 s$ ‍ og $t = 10 s$ ‍?
Hvad var den gennemsnitlige fart af fuglen mellem $t = 0 s$ ‍ og $t = 10 s$ ‍?

Find den gennemsnitlige hastighed af fuglen mellem $t = 0 s$ ‍ og $t = 10 s$ ‍:

For at finde den gennemsnitlige hastighed mellem

t = 0 s

t = 10 s

, skal vi finde den gennemsnitlige hældning mellem

t = 0 s

t = 10 s

. Vi skal altså bestemme hældningen af den linje, der forbinder det første punkt og det sidste punkt på grafen.

hældning = \frac{y_{2} - y_{1}}{t_{2} - t_{1}} (brug formlen for hældning)

Det første punkt er

(0 s, 7 m)

og det sidste punkt er

(10 s, 6 m)

hældning = \frac{6 m - 7 m}{10 s - 0 s} (indsæt værdierne af første og sidste punkt i tidsintervallet)

hældning = \frac{- 1 m}{10 s} = - 0, 1 m/s (udregn og klap dig selv på skulderen)

Fuglens gennemsnitlige hastighed mellem

t = 0 s

t = 10 s

var

- 0. m/s

Jo, det er i bund og grund, hvad vi gjorde ved at finde den gennemsnitlige hældning. Da definitionen af gennemsnitlig hastighed er forskydning per tid, kunne vi have fundet forskydningen først:

Δ y = y_{2} - y_{1} = 6 m - 7 m = - 1 m (indsæt sluthøjde og starthøjde)

Så kunne vi have divideret med tiden for at få den gennemsnitlige hastighed:

v_{g e n} = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{- 1 m}{10 s}

v_{g e n} = - 0, 1 m/s

Vi får den samme værdi for den gennemsnitlige hastighed på begge måder.

Find den gennemsnitlige fart af fuglen mellem $t = 0 s$ ‍ og $t = 10 s$ ‍:

Definitionen af den gennemsnitlige fart er den tilbagelagte afstand divideret med tiden. Vi kan udregne den tilbagelagte afstand ved at finde summen af længderne af grafens tre linjestykker. Mellem

t = 0 s

t = 2, 5 s

flyttede fuglen sig

5 m

ned. Mellem

t = 2, 5 s

t = 5 s

, bevægede fuglen sig slet ikke. Til sidst mellem

t = 5 s

t = 10 s

, fløj fuglen

4 m

opad. Hvis vi lægger disse længder sammen, får vi en samlet afstand på

afstand = 9 m

Nu kan vi dividere med tiden for at udregne den gennemsnitlige fart:

gennemsnitlig fart = \frac{tilbagelagt afstand}{Δ t} (brug formel for gennemsnitlig fart)

gennemsnitlig fart = \frac{9 m}{10 s} = 0, 9 m/s (indsæt værdier, udregn og skulderklap!)

Fuglens gennemsnitlige fart mellem

t = 0 s

t = 10 s

var

0, 9 m/s

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Fysik Bibliotek

Emne: (Fysik Bibliotek > Emne 1